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例 如图，已知$\odot O$的内接正六边形ABCDEF的边心距$OM=2$，求该圆的内接正三角形ACE的面积.
归纳总结
圆内接正多边形两种辅助线的作法：
(1)连半径，得中心角；
(2)作边心距，构造直角三角形.
归纳总结
圆内接正多边形两种辅助线的作法：
(1)连半径，得中心角；
(2)作边心距，构造直角三角形.
答案
解：如图，连接OC，OB，过点O作$ON⊥ CE$于点N.
$\because$多边形ABCDEF是正六边形，$\therefore∠ COB=60°$.
$\because OC=OB$，
$\therefore△ COB$是等边三角形.
$\therefore∠ OCM=60°$. $\therefore CM=\frac{1}{2}OC$.
$\therefore (\frac{1}{2}OC)^2+2^2=OC^2$. $\therefore OC=\frac{4\sqrt{3}}{3}$.
$\because∠ OCN=30°$，$\therefore ON=\frac{1}{2}OC=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$CN=2$.
$\therefore$该圆的内接正三角形ACE的面积$=6×\frac{1}{2}×2×\frac{2\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}$.
解析
【分析】
本题需利用同圆内接正多边形的外接圆半径相等的特点求解。首先根据正六边形的性质，连接OC、OB得到等边△COB，结合已知边心距OM，通过勾股定理求出外接圆半径OC；再针对内接正三角形ACE，作边心距ON，利用30°直角三角形的性质求出正三角形的边长和边心距，最后计算正三角形的面积即可。
【解析】
解：如图，连接OC，OB，过点O作$ON⊥ CE$于点N.
$\because$多边形ABCDEF是正六边形，$\therefore∠ COB=60°$.
$\because OC=OB$，$\therefore△ COB$是等边三角形，$\therefore∠ OCM=60°$.
在$Rt△ OCM$中，$∠ OMC=90°$，可得$CM=\frac{1}{2}OC$，由勾股定理得：
$CM^2+OM^2=OC^2$，即$(\frac{1}{2}OC)^2+2^2=OC^2$，解得$OC=\frac{4\sqrt{3}}{3}$.
$\because △ ACE$是$\odot O$的内接正三角形，$\therefore∠ OCN=30°$.
在$Rt△ OCN$中，$ON=\frac{1}{2}OC=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，由勾股定理得$CN=\sqrt{OC^2-ON^2}=2$，因此$CE=2CN=4$.
正三角形ACE的面积可拆分为6个全等的小直角三角形的面积和，即：
$S_{△ ACE}=6×\frac{1}{2}×CN×ON=6×\frac{1}{2}×2×\frac{2\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}$.
【答案】
$4\sqrt{3}$
【知识点】
正多边形与圆的性质；勾股定理；等边三角形性质
【点评】
本题是正多边形与圆相关计算的典型题型，解题的核心是掌握“连半径、作边心距”这两种常用辅助线的作法，通过构造直角三角形将正多边形的计算问题转化为解直角三角形的问题，同时要熟记常见正多边形的中心角、边角关系。
【难度系数】
0.65
本题需利用同圆内接正多边形的外接圆半径相等的特点求解。首先根据正六边形的性质，连接OC、OB得到等边△COB，结合已知边心距OM，通过勾股定理求出外接圆半径OC；再针对内接正三角形ACE，作边心距ON，利用30°直角三角形的性质求出正三角形的边长和边心距，最后计算正三角形的面积即可。
【解析】
解：如图，连接OC，OB，过点O作$ON⊥ CE$于点N.
$\because$多边形ABCDEF是正六边形，$\therefore∠ COB=60°$.
$\because OC=OB$，$\therefore△ COB$是等边三角形，$\therefore∠ OCM=60°$.
在$Rt△ OCM$中，$∠ OMC=90°$，可得$CM=\frac{1}{2}OC$，由勾股定理得：
$CM^2+OM^2=OC^2$，即$(\frac{1}{2}OC)^2+2^2=OC^2$，解得$OC=\frac{4\sqrt{3}}{3}$.
$\because △ ACE$是$\odot O$的内接正三角形，$\therefore∠ OCN=30°$.
在$Rt△ OCN$中，$ON=\frac{1}{2}OC=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，由勾股定理得$CN=\sqrt{OC^2-ON^2}=2$，因此$CE=2CN=4$.
正三角形ACE的面积可拆分为6个全等的小直角三角形的面积和，即：
$S_{△ ACE}=6×\frac{1}{2}×CN×ON=6×\frac{1}{2}×2×\frac{2\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}$.
【答案】
$4\sqrt{3}$
【知识点】
正多边形与圆的性质；勾股定理；等边三角形性质
【点评】
本题是正多边形与圆相关计算的典型题型，解题的核心是掌握“连半径、作边心距”这两种常用辅助线的作法，通过构造直角三角形将正多边形的计算问题转化为解直角三角形的问题，同时要熟记常见正多边形的中心角、边角关系。
【难度系数】
0.65
如图，正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于$\odot O$，AD和EF相交于点M，则$∠ AMF$的度数为（
A.$26°$
B.$27°$
C.$28°$
D.$30°$
B
）A.$26°$
B.$27°$
C.$28°$
D.$30°$
答案
B
解析
【分析】
要计算∠AMF的度数，我们可以利用圆内相交弦的夹角性质求解：圆内两条相交弦形成的夹角，等于它们所夹的两段弧的度数和的一半。解题思路如下：
1. 先计算正多边形每条边对应劣弧的度数：整个圆周为360°，正n边形每条边对应的劣弧度数为$360°÷ n$，据此可算出正四边形、正五边形各边对应的弧度数。
2. 结合正多边形顶点的位置关系，求出∠AMF所夹的两段弧$\overset{\frown}{AF}$、$\overset{\frown}{DE}$的度数。
3. 代入相交弦夹角公式，即可算出∠AMF的度数。
【解析】
解：
∵正四边形ABCD和正五边形CEFGH都内接于$\odot O$
∴正四边形每条边所对的劣弧度数为：$\frac{360°}{4}=90°$，即$\overset{\frown}{CD}=90°$，正四边形对角线$\overset{\frown}{AC}$对应的劣弧度数为$180°$
正五边形每条边所对的劣弧度数为：$\frac{360°}{5}=72°$，即$\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{EF}=72°$
∴$\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{CD}-\overset{\frown}{CE}=90°-72°=18°$
$\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{CE}+\overset{\frown}{EF}=72°+72°=144°$
∴$\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{AC}-\overset{\frown}{CF}=180°-144°=36°$
∵弦AD、EF交于圆内点M，根据圆内相交弦的夹角性质：夹角等于所夹两段弧度数和的一半
∴$∠ AMF=\frac{1}{2}(\overset{\frown}{AF的度数}+\overset{\frown}{DE的度数})=\frac{1}{2}×(36°+18°)=27°$
【答案】
B
【知识点】
正多边形与圆，圆周角定理，弧的度数计算
【点评】
本题结合正多边形和圆的性质考查圆内角的计算，解题的关键是熟练掌握正多边形对应弧的度数计算方法，以及圆内角和所夹弧度数的关系，能够结合图形准确找到对应弧段。
【难度系数】
0.65
要计算∠AMF的度数，我们可以利用圆内相交弦的夹角性质求解：圆内两条相交弦形成的夹角，等于它们所夹的两段弧的度数和的一半。解题思路如下：
1. 先计算正多边形每条边对应劣弧的度数：整个圆周为360°，正n边形每条边对应的劣弧度数为$360°÷ n$，据此可算出正四边形、正五边形各边对应的弧度数。
2. 结合正多边形顶点的位置关系，求出∠AMF所夹的两段弧$\overset{\frown}{AF}$、$\overset{\frown}{DE}$的度数。
3. 代入相交弦夹角公式，即可算出∠AMF的度数。
【解析】
解：
∵正四边形ABCD和正五边形CEFGH都内接于$\odot O$
∴正四边形每条边所对的劣弧度数为：$\frac{360°}{4}=90°$，即$\overset{\frown}{CD}=90°$，正四边形对角线$\overset{\frown}{AC}$对应的劣弧度数为$180°$
正五边形每条边所对的劣弧度数为：$\frac{360°}{5}=72°$，即$\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{EF}=72°$
∴$\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{CD}-\overset{\frown}{CE}=90°-72°=18°$
$\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{CE}+\overset{\frown}{EF}=72°+72°=144°$
∴$\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{AC}-\overset{\frown}{CF}=180°-144°=36°$
∵弦AD、EF交于圆内点M，根据圆内相交弦的夹角性质：夹角等于所夹两段弧度数和的一半
∴$∠ AMF=\frac{1}{2}(\overset{\frown}{AF的度数}+\overset{\frown}{DE的度数})=\frac{1}{2}×(36°+18°)=27°$
【答案】
B
【知识点】
正多边形与圆，圆周角定理，弧的度数计算
【点评】
本题结合正多边形和圆的性质考查圆内角的计算，解题的关键是熟练掌握正多边形对应弧的度数计算方法，以及圆内角和所夹弧度数的关系，能够结合图形准确找到对应弧段。
【难度系数】
0.65
探究：根据下列操作过程，完成填空.
(1)应用量角器：根据相等的圆心角所对的弧
(2)尺规作图：①如图1，因为与半径相等的弦长所对的圆心角是
(1)应用量角器：根据相等的圆心角所对的弧
相等
，把$360°$的圆心角$n$等分，顺次连接各个分点，得到圆内接正$n$边形.(2)尺规作图：①如图1，因为与半径相等的弦长所对的圆心角是
$60°$
，所以在圆内依次截取等于半径
的弦，可以把圆六等分，顺次连接各个分点，得到正六边形
，间隔连接，得到正三角形
.②如图2，作两条互相垂直
的直径，可以将圆四等分，顺次连接各个分点，可以得到正方形，在此基础上可以作出正八边形.答案
探究 (1)相等 (2)①$60°$ 半径 正六边形 正三角形 ②垂直
解析
【分析】
本题考查正多边形与圆的相关基础概念，解题时结合圆心角、弧、弦的对应关系推导即可：
1. 第(1)问：回忆圆心角定理，相等的圆心角对应的弧相等，将周角n等分后，每份圆心角对应相等的弧、相等的弦，顺次连接分点即可得到各边相等、各角相等的正n边形。
2. 第(2)问①：弦长等于半径时，弦与两条半径围成等边三角形，可得对应圆心角为60°，周角360°除以60°可得分点数量为6，顺次连接得正六边形；间隔连接时，相邻两个连接点对应的圆心角为120°，共3个分点，得到正三角形。
3. 第(2)问②：要将圆四等分，每份圆心角为90°，因此作两条互相垂直的直径即可实现四等分，顺次连接得到正方形。
【解析】
(1) 根据圆心角与弧的关系：相等的圆心角所对的弧相等，将360°圆心角n等分后，对应弧、弦均相等，顺次连接分点得到圆内接正n边形。
(2) ① 若弦长等于半径，则该弦与两条半径构成等边三角形，因此所对的圆心角为60°；$360°÷60°=6$，因此在圆内依次截取等于半径的弦，可将圆六等分，顺次连接各分点得到正六边形；间隔连接分点时，相邻两个连接点对应的圆心角为120°，共3个分点，得到正三角形。
② 要将圆四等分，每份圆心角为90°，因此作两条互相垂直的直径即可将圆四等分，顺次连接分点得到正方形。
【答案】
(1)相等
(2)①$60°$；半径；正六边形；正三角形
②垂直
【知识点】
1. 圆心角弧弦的关系
2. 正多边形与圆
3. 尺规作正多边形
【点评】
本题属于基础概念题，主要考察正多边形和圆的对应关系，以及常见正多边形的尺规作图原理，熟练掌握圆心角、弧、弦的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9
本题考查正多边形与圆的相关基础概念，解题时结合圆心角、弧、弦的对应关系推导即可：
1. 第(1)问：回忆圆心角定理，相等的圆心角对应的弧相等，将周角n等分后，每份圆心角对应相等的弧、相等的弦，顺次连接分点即可得到各边相等、各角相等的正n边形。
2. 第(2)问①：弦长等于半径时，弦与两条半径围成等边三角形，可得对应圆心角为60°，周角360°除以60°可得分点数量为6，顺次连接得正六边形；间隔连接时，相邻两个连接点对应的圆心角为120°，共3个分点，得到正三角形。
3. 第(2)问②：要将圆四等分，每份圆心角为90°，因此作两条互相垂直的直径即可实现四等分，顺次连接得到正方形。
【解析】
(1) 根据圆心角与弧的关系：相等的圆心角所对的弧相等，将360°圆心角n等分后，对应弧、弦均相等，顺次连接分点得到圆内接正n边形。
(2) ① 若弦长等于半径，则该弦与两条半径构成等边三角形，因此所对的圆心角为60°；$360°÷60°=6$，因此在圆内依次截取等于半径的弦，可将圆六等分，顺次连接各分点得到正六边形；间隔连接分点时，相邻两个连接点对应的圆心角为120°，共3个分点，得到正三角形。
② 要将圆四等分，每份圆心角为90°，因此作两条互相垂直的直径即可将圆四等分，顺次连接分点得到正方形。
【答案】
(1)相等
(2)①$60°$；半径；正六边形；正三角形
②垂直
【知识点】
1. 圆心角弧弦的关系
2. 正多边形与圆
3. 尺规作正多边形
【点评】
本题属于基础概念题，主要考察正多边形和圆的对应关系，以及常见正多边形的尺规作图原理，熟练掌握圆心角、弧、弦的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9
我们可以只用圆规将圆等分，例如将圆六等分，只需在$\odot O$上任取点A，从点A开始，以$\odot O$的半径为半径，在$\odot O$上依次截取点B，C，D，E，F，从而点A，B，C，D，E，F把$\odot O$六等分。下列可以只用圆规将圆等分的是（
①两等分；②三等分；③四等分。
A.②
B.①②
C.①③
D.①②③
D
）①两等分；②三等分；③四等分。
A.②
B.①②
C.①③
D.①②③
答案
D
解析
【分析】
要判断三种等分方式能否只用圆规实现，我们可结合圆的弦长与对应圆心角的关系，逐个验证每种等分的操作可行性：首先结合题目给出的六等分圆方法，以此为基础推导其他等分的操作步骤，判断是否仅用圆规即可完成。
【解析】
我们逐个分析三种情况：
① 两等分：在$\odot O$上任取点A，以$\odot O$半径$r$为半径，从A出发在圆上依次截取点B、C、D，此时AD为$\odot O$的直径，A、D两点即将圆两等分，故①可行；
② 三等分：按照题目给出的六等分方法得到六等分点A、B、C、D、E、F，选取间隔的点A、C、E，这三个点对应的圆心角均为$120°$，可将圆三等分，故②可行；
③ 四等分：第一步先按上述方法得到直径AD；第二步分别以A、D为圆心，弦AC的长度（$\sqrt{3}r$）为半径作弧，两弧交于圆外一点P，由勾股定理可得$OP=\sqrt{AP^2-OA^2}=\sqrt{3r^2-r^2}=\sqrt{2}r$；第三步以A为圆心，OP长为半径作弧，交$\odot O$于M、N两点，此时弦AM长为$\sqrt{2}r$，对应的圆心角为$90°$，则A、M、D、N四点将圆四等分，故③可行。
综上①②③都可以只用圆规将圆等分。
【答案】
D
【知识点】
圆的等分作图；正多边形与圆；圆的基本性质
【点评】
本题结合圆规作图考查圆的等分相关知识，需要结合几何推理推导作图方法，兼顾对动手操作能力和逻辑推理能力的考查。
【难度系数】
0.6
要判断三种等分方式能否只用圆规实现，我们可结合圆的弦长与对应圆心角的关系，逐个验证每种等分的操作可行性：首先结合题目给出的六等分圆方法，以此为基础推导其他等分的操作步骤，判断是否仅用圆规即可完成。
【解析】
我们逐个分析三种情况：
① 两等分：在$\odot O$上任取点A，以$\odot O$半径$r$为半径，从A出发在圆上依次截取点B、C、D，此时AD为$\odot O$的直径，A、D两点即将圆两等分，故①可行；
② 三等分：按照题目给出的六等分方法得到六等分点A、B、C、D、E、F，选取间隔的点A、C、E，这三个点对应的圆心角均为$120°$，可将圆三等分，故②可行；
③ 四等分：第一步先按上述方法得到直径AD；第二步分别以A、D为圆心，弦AC的长度（$\sqrt{3}r$）为半径作弧，两弧交于圆外一点P，由勾股定理可得$OP=\sqrt{AP^2-OA^2}=\sqrt{3r^2-r^2}=\sqrt{2}r$；第三步以A为圆心，OP长为半径作弧，交$\odot O$于M、N两点，此时弦AM长为$\sqrt{2}r$，对应的圆心角为$90°$，则A、M、D、N四点将圆四等分，故③可行。
综上①②③都可以只用圆规将圆等分。
【答案】
D
【知识点】
圆的等分作图；正多边形与圆；圆的基本性质
【点评】
本题结合圆规作图考查圆的等分相关知识，需要结合几何推理推导作图方法，兼顾对动手操作能力和逻辑推理能力的考查。
【难度系数】
0.6
请根据本课所学，构建知识体系.
画正多边形
用量角器等分圆周，可以画
用尺规等分圆周，可以画特殊正多边形
正多边形与圆的关系
等分圆周，顺次连接
正多边形的相关概念
（1）中心：正多边形的
（2）半径：
（3）中心角：正多边形每一边所对的
（4）边心距：
到正多边形的一边的距离
正n边形的有关计算
有关角的计算
（1）中心角：
（2）内角：$\frac{(n-2)·180°}{n}$；
（3）外角：
有关图形分割
被半径和边心距分成2n个全等的
有关数量关系
画正多边形
用量角器等分圆周，可以画
任意
正多边形用尺规等分圆周，可以画特殊正多边形
正多边形与圆的关系
等分圆周，顺次连接
各分点
，能够得到正多边形正多边形的相关概念
（1）中心：正多边形的
外接圆
的圆心；（2）半径：
外接圆
的半径；（3）中心角：正多边形每一边所对的
圆心角
；（4）边心距：
到正多边形的一边的距离正n边形的有关计算
有关角的计算
（1）中心角：
$\frac{360°}{n}$
；（2）内角：$\frac{(n-2)·180°}{n}$；
（3）外角：
$\frac{360°}{n}$
有关图形分割
被半径和边心距分成2n个全等的
直角
三角形有关数量关系
答案
任意 各分点 (1)外接圆 (2)外接圆 (3)圆心角
(4)中心 (1)$\frac{360°}{n}$ (3)$\frac{360°}{n}$ 直角
(4)中心 (1)$\frac{360°}{n}$ (3)$\frac{360°}{n}$ 直角
解析
【分析】
本题是正多边形与圆相关知识的体系梳理题，解题时需逐一对应教材中的基础概念：①画正多边形的两种方法中，用量角器可测量任意角度等分圆周，因此可绘制任意边数的正多边形，尺规只能绘制特殊边数的；②等分圆周得到正多边形的操作是顺次连接各分点；③正多边形的相关概念均和它的外接圆相关，中心即外接圆圆心，半径是外接圆半径，中心角是一边对应的外接圆圆心角，边心距是中心到边的距离；④正n边形的中心角、外角都等于360°除以边数n；⑤正n边形被半径和边心距分割后得到的是全等的直角三角形。
【解析】
根据正多边形与圆的相关基础概念逐一填空：
1. 用量角器可以量取任意度数的圆心角等分圆周，因此可以画任意正多边形；
2. 等分圆周后，顺次连接各分点，就能得到正多边形；
3. 正多边形相关概念：
（1）中心是正多边形的外接圆的圆心；
（2）半径是正多边形外接圆的半径；
（3）中心角是正多边形每一边所对的圆心角；
（4）边心距是正多边形的中心到一边的距离；
4. 正n边形有关角的计算：
（1）中心角是周角平均分成n份的大小，即$\frac{360°}{n}$；
（3）正多边形外角和为360°，每个外角大小为$\frac{360°}{n}$；
5. 正n边形被半径和边心距分成2n个全等的直角三角形。
【答案】
任意；各分点；(1)外接圆；(2)外接圆；(3)圆心角；(4)中心；(1)$\frac{360°}{n}$；(3)$\frac{360°}{n}$；直角
【知识点】
正多边形与圆的关系；正多边形相关概念；正多边形的计算
【点评】
本题属于基础概念梳理题，旨在帮助学生搭建正多边形与圆的知识框架，熟练掌握这些基础概念是解决正多边形的作图、计算类题目的前提。
【难度系数】
0.9
本题是正多边形与圆相关知识的体系梳理题，解题时需逐一对应教材中的基础概念：①画正多边形的两种方法中，用量角器可测量任意角度等分圆周，因此可绘制任意边数的正多边形，尺规只能绘制特殊边数的；②等分圆周得到正多边形的操作是顺次连接各分点；③正多边形的相关概念均和它的外接圆相关，中心即外接圆圆心，半径是外接圆半径，中心角是一边对应的外接圆圆心角，边心距是中心到边的距离；④正n边形的中心角、外角都等于360°除以边数n；⑤正n边形被半径和边心距分割后得到的是全等的直角三角形。
【解析】
根据正多边形与圆的相关基础概念逐一填空：
1. 用量角器可以量取任意度数的圆心角等分圆周，因此可以画任意正多边形；
2. 等分圆周后，顺次连接各分点，就能得到正多边形；
3. 正多边形相关概念：
（1）中心是正多边形的外接圆的圆心；
（2）半径是正多边形外接圆的半径；
（3）中心角是正多边形每一边所对的圆心角；
（4）边心距是正多边形的中心到一边的距离；
4. 正n边形有关角的计算：
（1）中心角是周角平均分成n份的大小，即$\frac{360°}{n}$；
（3）正多边形外角和为360°，每个外角大小为$\frac{360°}{n}$；
5. 正n边形被半径和边心距分成2n个全等的直角三角形。
【答案】
任意；各分点；(1)外接圆；(2)外接圆；(3)圆心角；(4)中心；(1)$\frac{360°}{n}$；(3)$\frac{360°}{n}$；直角
【知识点】
正多边形与圆的关系；正多边形相关概念；正多边形的计算
【点评】
本题属于基础概念梳理题，旨在帮助学生搭建正多边形与圆的知识框架，熟练掌握这些基础概念是解决正多边形的作图、计算类题目的前提。
【难度系数】
0.9
