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任务导学
任务一
根据已知点求反比例函数的解析式
阅读材料，完成下列探究.
如图，直线 $ y_1 = x + 1 $ 与双曲线 $ y_2 = \frac{k}{x} $（k为常数，k≠0）交于A，D两点，点A的坐标为(m，2).
探究1：求反比例函数的解析式.
探究2：判断点B(-1，3)，C(2，1)是否在这个反比例函数的图象上.
探究3：结合图象直接写出当 $ y_1 ＜ y_2 $ 时，x的取值范围.
归纳总结
（1）确定反比例函数的解析式，只需要已知图象上的一个点的坐标即可.
（2）判断一个点是否在反比例函数的图象上，只要看该点是否满足反比例函数的解析式即可.
任务一
根据已知点求反比例函数的解析式
阅读材料，完成下列探究.
如图，直线 $ y_1 = x + 1 $ 与双曲线 $ y_2 = \frac{k}{x} $（k为常数，k≠0）交于A，D两点，点A的坐标为(m，2).
探究1：求反比例函数的解析式.
探究2：判断点B(-1，3)，C(2，1)是否在这个反比例函数的图象上.
探究3：结合图象直接写出当 $ y_1 ＜ y_2 $ 时，x的取值范围.
归纳总结
（1）确定反比例函数的解析式，只需要已知图象上的一个点的坐标即可.
（2）判断一个点是否在反比例函数的图象上，只要看该点是否满足反比例函数的解析式即可.
答案
探究1：将A(m，2)代入$ y_1 = x + 1 $，得2=m+1，解得m=1.
∴点A的坐标为(1，2).
将A(1，2)代入$ y_2 = \frac{k}{x} $中，得$ 2 = \frac{k}{1} $，解得k=2.
∴反比例函数的解析式为$ y_2 = \frac{2}{x} $.
探究2：分别把点B，C的坐标代入$ y_2 = \frac{2}{x} $，得$ 3≠\frac{2}{-1} $，$ 1=\frac{2}{2} $，
∴点B不在该反比例函数的图象上，点C在该反比例函数的图象上.
探究3：列方程组，得$ \begin{cases} y = x + 1, \\ y = \frac{2}{x}, \end{cases} $
解得$ \begin{cases} x=-2, \\ y=-1 \end{cases} $或$ \begin{cases} x=1, \\ y=2. \end{cases} $
∴点D的坐标为(-2，-1).
由题中函数图象可知，在点D的左侧以及y轴与点A之间，一次函数图象在反比例函数图象下方，
∴当$ y_1 ＜ y_2 $时，x＜-2或0＜x＜1.
∴点A的坐标为(1，2).
将A(1，2)代入$ y_2 = \frac{k}{x} $中，得$ 2 = \frac{k}{1} $，解得k=2.
∴反比例函数的解析式为$ y_2 = \frac{2}{x} $.
探究2：分别把点B，C的坐标代入$ y_2 = \frac{2}{x} $，得$ 3≠\frac{2}{-1} $，$ 1=\frac{2}{2} $，
∴点B不在该反比例函数的图象上，点C在该反比例函数的图象上.
探究3：列方程组，得$ \begin{cases} y = x + 1, \\ y = \frac{2}{x}, \end{cases} $
解得$ \begin{cases} x=-2, \\ y=-1 \end{cases} $或$ \begin{cases} x=1, \\ y=2. \end{cases} $
∴点D的坐标为(-2，-1).
由题中函数图象可知，在点D的左侧以及y轴与点A之间，一次函数图象在反比例函数图象下方，
∴当$ y_1 ＜ y_2 $时，x＜-2或0＜x＜1.
解析
【分析】
探究1：要确定反比例函数解析式，需先求参数k。已知点A是直线与双曲线的交点，因此点A坐标满足一次函数解析式，先代入一次函数求出m，得到A点完整坐标后，再代入反比例函数即可求出k，得到解析式。
探究2：判断点是否在反比例函数图象上，只需验证点的横纵坐标是否满足函数解析式，若代入后等式成立，则点在图象上，反之不在。
探究3：求$y_1＜y_2$时x的取值范围，实质是找一次函数图象在反比例函数图象下方对应的x的范围。首先联立两个函数解析式求出两个交点坐标，再结合图象分$x＜0$和$x＞0$两个区间观察图象位置关系，注意反比例函数自变量$x≠0$，最终确定取值范围。
【解析】
探究1：
将$A(m,2)$代入$y_1=x+1$，得$2=m+1$，解得$m=1$，
∴点A的坐标为$(1,2)$。
将$A(1,2)$代入$y_2=\frac{k}{x}$，得$2=\frac{k}{1}$，解得$k=2$，
∴反比例函数的解析式为$y_2=\frac{2}{x}$。
探究2：
分别将点B、C的坐标代入$y_2=\frac{2}{x}$验证：
点$B(-1,3)$代入得，右边$=\frac{2}{-1}=-2≠3$，不满足解析式；
点$C(2,1)$代入得，右边$=\frac{2}{2}=1$，与左边相等，满足解析式。
∴点B不在该反比例函数的图象上，点C在该反比例函数的图象上。
探究3：
联立两个函数解析式得：
$\begin{cases} y = x + 1 \\ y = \frac{2}{x} \end{cases}$
消去y整理得$x^2+x-2=0$，解得$x=-2$或$x=1$，
代入$y=x+1$得对应y值为$-1$、$2$，即交点为$A(1,2)$、$D(-2,-1)$。
结合图象观察：$x＜-2$时，一次函数图象在反比例函数图象下方；$0＜x＜1$时，一次函数图象也在反比例函数图象下方。
∴当$y_1＜y_2$时，x的取值范围是$x＜-2$或$0＜x＜1$。
【答案】
探究1：$y_2=\frac{2}{x}$；
探究2：点B不在该反比例函数图象上，点C在该反比例函数图象上；
探究3：$x＜-2$或$0＜x＜1$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数与反比例函数综合
【点评】
本题是函数基础综合题，解题关键是利用交点坐标同时满足两个函数解析式的特点求解参数，结合图象比较函数值大小时要注意反比例函数自变量的取值限制，避免遗漏$x≠0$的条件出错。
【难度系数】
0.8
探究1：要确定反比例函数解析式，需先求参数k。已知点A是直线与双曲线的交点，因此点A坐标满足一次函数解析式，先代入一次函数求出m，得到A点完整坐标后，再代入反比例函数即可求出k，得到解析式。
探究2：判断点是否在反比例函数图象上，只需验证点的横纵坐标是否满足函数解析式，若代入后等式成立，则点在图象上，反之不在。
探究3：求$y_1＜y_2$时x的取值范围，实质是找一次函数图象在反比例函数图象下方对应的x的范围。首先联立两个函数解析式求出两个交点坐标，再结合图象分$x＜0$和$x＞0$两个区间观察图象位置关系，注意反比例函数自变量$x≠0$，最终确定取值范围。
【解析】
探究1：
将$A(m,2)$代入$y_1=x+1$，得$2=m+1$，解得$m=1$，
∴点A的坐标为$(1,2)$。
将$A(1,2)$代入$y_2=\frac{k}{x}$，得$2=\frac{k}{1}$，解得$k=2$，
∴反比例函数的解析式为$y_2=\frac{2}{x}$。
探究2：
分别将点B、C的坐标代入$y_2=\frac{2}{x}$验证：
点$B(-1,3)$代入得，右边$=\frac{2}{-1}=-2≠3$，不满足解析式；
点$C(2,1)$代入得，右边$=\frac{2}{2}=1$，与左边相等，满足解析式。
∴点B不在该反比例函数的图象上，点C在该反比例函数的图象上。
探究3：
联立两个函数解析式得：
$\begin{cases} y = x + 1 \\ y = \frac{2}{x} \end{cases}$
消去y整理得$x^2+x-2=0$，解得$x=-2$或$x=1$，
代入$y=x+1$得对应y值为$-1$、$2$，即交点为$A(1,2)$、$D(-2,-1)$。
结合图象观察：$x＜-2$时，一次函数图象在反比例函数图象下方；$0＜x＜1$时，一次函数图象也在反比例函数图象下方。
∴当$y_1＜y_2$时，x的取值范围是$x＜-2$或$0＜x＜1$。
【答案】
探究1：$y_2=\frac{2}{x}$；
探究2：点B不在该反比例函数图象上，点C在该反比例函数图象上；
探究3：$x＜-2$或$0＜x＜1$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数与反比例函数综合
【点评】
本题是函数基础综合题，解题关键是利用交点坐标同时满足两个函数解析式的特点求解参数，结合图象比较函数值大小时要注意反比例函数自变量的取值限制，避免遗漏$x≠0$的条件出错。
【难度系数】
0.8
如图，一次函数$y_1=kx+b$的图象与反比例函数$y_2=\frac{m}{x}$的图象交于$A(-2,1)$，$B(1,n)$两点。
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)根据图象写出使$y_1＞y_2$的$x$的取值范围。
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)根据图象写出使$y_1＞y_2$的$x$的取值范围。
答案
(1)$y_2=-\frac{2}{x}$ $y_1=-x-1$
(2)$x＜-2$或$0＜x＜1$
(2)$x＜-2$或$0＜x＜1$
解析
【分析】
(1)求解函数解析式优先使用待定系数法：已知反比例函数图象经过点A，将A点坐标代入反比例函数表达式即可求出m的值，得到反比例函数解析式；再将点B的横坐标代入反比例函数解析式求出n的值，得到点B的完整坐标，最后将A、B两点坐标代入一次函数表达式，解二元一次方程组求出k、b的值，即可得到一次函数解析式。
(2)求$y_1＞y_2$的$x$的取值范围，本质是找一次函数图象在反比例函数图象上方的部分对应的x取值，结合两个交点坐标以及反比例函数x≠0的间断特点，分区间观察图象即可得出结果。
【解析】
(1) 求反比例函数解析式：
将点$A(-2,1)$代入$y_2=\frac{m}{x}$，得：
$1=\frac{m}{-2}$，解得$m=-2$
∴反比例函数的解析式为$y_2=-\frac{2}{x}$
求点B的坐标：
将$B(1,n)$代入$y_2=-\frac{2}{x}$，得：
$n=\frac{-2}{1}=-2$，即$B(1,-2)$
求一次函数解析式：
将$A(-2,1)$、$B(1,-2)$代入$y_1=kx+b$，得方程组：
$\begin{cases}-2k + b = 1 \\k + b = -2 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得：$3k=-3$，解得$k=-1$
将$k=-1$代入$k + b = -2$，得：$-1 + b = -2$，解得$b=-1$
∴一次函数的解析式为$y_1=-x-1$
(2) 观察图象，两个函数的交点为$A(-2,1)$、$B(1,-2)$，反比例函数图象在$x=0$处断开：
当$x＜-2$时，一次函数图象在反比例函数图象上方，满足$y_1＞y_2$；
当$0＜x＜1$时，一次函数图象在反比例函数图象上方，满足$y_1＞y_2$；
其余区间均不满足$y_1＞y_2$。
【答案】
(1)$y_2=-\frac{2}{x}$，$y_1=-x-1$
(2)$x＜-2$或$0＜x＜1$
【知识点】
1.待定系数法求解析式
2.反比例函数的图象与性质
3.一次函数与不等式
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，考查了待定系数法的应用以及结合函数图象解不等式的能力，解题时要注意反比例函数图象是不连续的，分析取值范围时不要遗漏x≠0的限制。
【难度系数】
0.7
(1)求解函数解析式优先使用待定系数法：已知反比例函数图象经过点A，将A点坐标代入反比例函数表达式即可求出m的值，得到反比例函数解析式；再将点B的横坐标代入反比例函数解析式求出n的值，得到点B的完整坐标，最后将A、B两点坐标代入一次函数表达式，解二元一次方程组求出k、b的值，即可得到一次函数解析式。
(2)求$y_1＞y_2$的$x$的取值范围，本质是找一次函数图象在反比例函数图象上方的部分对应的x取值，结合两个交点坐标以及反比例函数x≠0的间断特点，分区间观察图象即可得出结果。
【解析】
(1) 求反比例函数解析式：
将点$A(-2,1)$代入$y_2=\frac{m}{x}$，得：
$1=\frac{m}{-2}$，解得$m=-2$
∴反比例函数的解析式为$y_2=-\frac{2}{x}$
求点B的坐标：
将$B(1,n)$代入$y_2=-\frac{2}{x}$，得：
$n=\frac{-2}{1}=-2$，即$B(1,-2)$
求一次函数解析式：
将$A(-2,1)$、$B(1,-2)$代入$y_1=kx+b$，得方程组：
$\begin{cases}-2k + b = 1 \\k + b = -2 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得：$3k=-3$，解得$k=-1$
将$k=-1$代入$k + b = -2$，得：$-1 + b = -2$，解得$b=-1$
∴一次函数的解析式为$y_1=-x-1$
(2) 观察图象，两个函数的交点为$A(-2,1)$、$B(1,-2)$，反比例函数图象在$x=0$处断开：
当$x＜-2$时，一次函数图象在反比例函数图象上方，满足$y_1＞y_2$；
当$0＜x＜1$时，一次函数图象在反比例函数图象上方，满足$y_1＞y_2$；
其余区间均不满足$y_1＞y_2$。
【答案】
(1)$y_2=-\frac{2}{x}$，$y_1=-x-1$
(2)$x＜-2$或$0＜x＜1$
【知识点】
1.待定系数法求解析式
2.反比例函数的图象与性质
3.一次函数与不等式
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，考查了待定系数法的应用以及结合函数图象解不等式的能力，解题时要注意反比例函数图象是不连续的，分析取值范围时不要遗漏x≠0的限制。
【难度系数】
0.7
