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9. 将点$P(-2,3)$关于$y$轴对称后再向左平移
2
个单位，其对应点落在$y$轴上。答案
9. 2
解析
【分析】
解题时按先后变换顺序思考：第一步先根据关于y轴对称的点的坐标变化规律，求出点P对称后的对应点坐标；第二步明确y轴上的点横坐标为0，结合向左平移时点的横坐标减小的规律，计算出对称点到y轴需要平移的单位长度即可。
【解析】
1. 求点$P(-2,3)$关于y轴对称的点的坐标：
根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数，可得对称后的点坐标为$(2,3)$。
2. 计算需要向左平移的单位长度：
y轴上所有点的横坐标都为0，向左平移时，点的横坐标会随平移的单位长度对应减小。
设向左平移$a$个单位后点落在y轴上，可列等式：$2 - a = 0$，解得$a=2$。
【答案】
2
【知识点】
关于y轴对称的坐标规律，点的平移规律，y轴上点的坐标特征
【点评】
本题是坐标平面内图形变换的基础题型，重点考查对坐标对称、平移规则的掌握，解题时要注意变换的先后顺序，避免混淆平移方向对应的坐标增减规律。
【难度系数】
0.8
解题时按先后变换顺序思考：第一步先根据关于y轴对称的点的坐标变化规律，求出点P对称后的对应点坐标；第二步明确y轴上的点横坐标为0，结合向左平移时点的横坐标减小的规律，计算出对称点到y轴需要平移的单位长度即可。
【解析】
1. 求点$P(-2,3)$关于y轴对称的点的坐标：
根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数，可得对称后的点坐标为$(2,3)$。
2. 计算需要向左平移的单位长度：
y轴上所有点的横坐标都为0，向左平移时，点的横坐标会随平移的单位长度对应减小。
设向左平移$a$个单位后点落在y轴上，可列等式：$2 - a = 0$，解得$a=2$。
【答案】
2
【知识点】
关于y轴对称的坐标规律，点的平移规律，y轴上点的坐标特征
【点评】
本题是坐标平面内图形变换的基础题型，重点考查对坐标对称、平移规则的掌握，解题时要注意变换的先后顺序，避免混淆平移方向对应的坐标增减规律。
【难度系数】
0.8
10. 四盏灯笼的位置如图。已知A,B,C,D的坐标分别是$(-4,b),(-3,b),(-2,b),(2,b)$。如何通过平移其中一盏灯,使得y轴两边的灯笼对称? 一种能够实现要求的平移方法是 。
答案
10. 答案不唯一,如将点A向右平移7个单位
解析
【分析】要使y轴两边的灯笼对称，即四个灯笼组成的图形关于y轴对称，根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数。观察四个点的坐标可知，所有点纵坐标都是b，只需调整横坐标使它们两两互为相反数即可。现有C(-2,b)和D(2,b)已经满足关于y轴对称，左侧还剩A(-4,b)、B(-3,b)，右侧缺少与-3、-4对应的3、4位置，因此我们可以平移其中一个点补充右侧空缺的位置，比如将A点平移到横坐标为3的位置，计算平移距离即可得到平移方法。
【解析】关于y轴对称的点的坐标规律为：横坐标互为相反数，纵坐标相等。
现有四个点纵坐标均为b，只需让横坐标两两互为相反数即可满足对称要求。
已知现有横坐标为-4、-3、-2、2，其中-2与2已经互为相反数，若将点A(-4,b)平移至横坐标为3的位置，此时四个点横坐标为-3、-2、2、3，两两互为相反数，满足关于y轴对称的要求。
点A横坐标从-4到3，平移距离为$3 - (-4) = 7$，且纵坐标不变，即平移方法为将点A向右平移7个单位。（其他合理方法均可）
【答案】答案不唯一，如将点A向右平移7个单位
【知识点】关于y轴对称的点的坐标特征；点的平移规律
【点评】本题结合生活情境考查坐标平面内轴对称和平移的综合应用，解题时需要先明确对称的坐标要求，再结合平移的坐标变化规律计算平移方式，题目答案不唯一，灵活性较强，能很好地考查学生的发散思维和知识应用能力。
【难度系数】0.7
【解析】关于y轴对称的点的坐标规律为：横坐标互为相反数，纵坐标相等。
现有四个点纵坐标均为b，只需让横坐标两两互为相反数即可满足对称要求。
已知现有横坐标为-4、-3、-2、2，其中-2与2已经互为相反数，若将点A(-4,b)平移至横坐标为3的位置，此时四个点横坐标为-3、-2、2、3，两两互为相反数，满足关于y轴对称的要求。
点A横坐标从-4到3，平移距离为$3 - (-4) = 7$，且纵坐标不变，即平移方法为将点A向右平移7个单位。（其他合理方法均可）
【答案】答案不唯一，如将点A向右平移7个单位
【知识点】关于y轴对称的点的坐标特征；点的平移规律
【点评】本题结合生活情境考查坐标平面内轴对称和平移的综合应用，解题时需要先明确对称的坐标要求，再结合平移的坐标变化规律计算平移方式，题目答案不唯一，灵活性较强，能很好地考查学生的发散思维和知识应用能力。
【难度系数】0.7
11. 通过平移把点$A(a,b-2)$移到点$A_1(a+1,b)$，按同样的平移方式，点B移动到点$B_1(-3,1)$，则点B的坐标是
(-4,-1)
。答案
11. (-4,-1)
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确坐标平移的基本规律：点平移时，横坐标右加左减，纵坐标上加下减。第一步先根据点A平移到A₁的坐标变化，算出本次平移的横、纵坐标变化量，确定统一的平移规则；第二步，已知点B按相同规则平移后得到B₁，要求点B的坐标，只需逆向运用平移规则，用B₁的坐标减去对应的平移变化量即可。
【解析】
首先计算平移的坐标变化量：
横坐标变化：$(a+1) - a = 1$，即平移时横坐标增加1（向右平移1个单位）；
纵坐标变化：$b - (b-2) = 2$，即平移时纵坐标增加2（向上平移2个单位）。
设点B的坐标为$(x,y)$，根据平移规则，点B平移后得到$B_1$的坐标为$(x+1, y+2)$。
已知$B_1(-3,1)$，可列等式：
$x + 1 = -3$，解得$x = -3 - 1 = -4$；
$y + 2 = 1$，解得$y = 1 - 2 = -1$。
因此点B的坐标为$(-4,-1)$。
【答案】
$(-4,-1)$
【知识点】
1. 点的平移规律
2. 平移的逆向应用
【点评】
本题是坐标平移的基础常考题，解题核心是先通过已知点的平移确定平移规则，再灵活正向或逆向运用规律求解坐标，注意避免混淆平移的前后方向导致计算错误。
【难度系数】
0.75
要解决本题，首先需明确坐标平移的基本规律：点平移时，横坐标右加左减，纵坐标上加下减。第一步先根据点A平移到A₁的坐标变化，算出本次平移的横、纵坐标变化量，确定统一的平移规则；第二步，已知点B按相同规则平移后得到B₁，要求点B的坐标，只需逆向运用平移规则，用B₁的坐标减去对应的平移变化量即可。
【解析】
首先计算平移的坐标变化量：
横坐标变化：$(a+1) - a = 1$，即平移时横坐标增加1（向右平移1个单位）；
纵坐标变化：$b - (b-2) = 2$，即平移时纵坐标增加2（向上平移2个单位）。
设点B的坐标为$(x,y)$，根据平移规则，点B平移后得到$B_1$的坐标为$(x+1, y+2)$。
已知$B_1(-3,1)$，可列等式：
$x + 1 = -3$，解得$x = -3 - 1 = -4$；
$y + 2 = 1$，解得$y = 1 - 2 = -1$。
因此点B的坐标为$(-4,-1)$。
【答案】
$(-4,-1)$
【知识点】
1. 点的平移规律
2. 平移的逆向应用
【点评】
本题是坐标平移的基础常考题，解题核心是先通过已知点的平移确定平移规则，再灵活正向或逆向运用规律求解坐标，注意避免混淆平移的前后方向导致计算错误。
【难度系数】
0.75
12.如图,点A的坐标为(1,3),点B在x轴上,把△OAB沿x轴向右平移到△ECD,若四边形ABDC的面积为15,则点C的坐标为
(6,3)
。答案
12. (6,3)
解析
【分析】
解题时先从平移的性质入手：①沿x轴向右平移时，图形上所有点的纵坐标不变，横坐标增加平移的距离；②平移前后对应点的连线平行且相等，对应线段平行且相等，由此可判断四边形ABDC是平行四边形。平行四边形的高等于点A到x轴的距离（即A点的纵坐标），已知四边形面积，就可以通过平行四边形面积公式算出平移的水平距离，最后结合A点坐标即可求出C点坐标。
【解析】
∵△OAB沿x轴向右平移得到△ECD
∴AC=BD，且AC//BD，AB//CD，四边形ABDC为平行四边形，且点C的纵坐标与点A的纵坐标相等
∵点A坐标为(1,3)
∴点C的纵坐标为3，平行四边形ABDC的高为A点到x轴的距离，即高h=3
已知平行四边形ABDC的面积为15，根据平行四边形面积公式S=底×高，可得底AC的长度为：
$AC = S÷ h = 15÷ 3 = 5$
即△OAB向右平移的距离为5个单位长度
∴点C的横坐标为A点横坐标加平移距离：$1+5=6$
故点C的坐标为(6,3)
【答案】
(6,3)
【知识点】
平移的性质，平行四边形的面积，坐标与图形变化-平移
【点评】
本题是坐标与平移结合的基础题，解题核心是抓住平移过程中纵坐标不变、对应点连线长度等于平移距离的特点，结合平行四边形面积公式即可快速求解，是平移章节的典型考查题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从平移的性质入手：①沿x轴向右平移时，图形上所有点的纵坐标不变，横坐标增加平移的距离；②平移前后对应点的连线平行且相等，对应线段平行且相等，由此可判断四边形ABDC是平行四边形。平行四边形的高等于点A到x轴的距离（即A点的纵坐标），已知四边形面积，就可以通过平行四边形面积公式算出平移的水平距离，最后结合A点坐标即可求出C点坐标。
【解析】
∵△OAB沿x轴向右平移得到△ECD
∴AC=BD，且AC//BD，AB//CD，四边形ABDC为平行四边形，且点C的纵坐标与点A的纵坐标相等
∵点A坐标为(1,3)
∴点C的纵坐标为3，平行四边形ABDC的高为A点到x轴的距离，即高h=3
已知平行四边形ABDC的面积为15，根据平行四边形面积公式S=底×高，可得底AC的长度为：
$AC = S÷ h = 15÷ 3 = 5$
即△OAB向右平移的距离为5个单位长度
∴点C的横坐标为A点横坐标加平移距离：$1+5=6$
故点C的坐标为(6,3)
【答案】
(6,3)
【知识点】
平移的性质，平行四边形的面积，坐标与图形变化-平移
【点评】
本题是坐标与平移结合的基础题，解题核心是抓住平移过程中纵坐标不变、对应点连线长度等于平移距离的特点，结合平行四边形面积公式即可快速求解，是平移章节的典型考查题型。
【难度系数】
0.7
13. 在直角坐标系中,把点$P(a,b)$先向左平移3个单位,再向上平移2个单位,再把所得的点以$x$轴作轴对称变换,最终所得的点的坐标为$(5,4)$,求点$P$的坐标。
答案
13. (8,-6)
解析
【分析】
本题可采用逆推法求解，从最终得到的坐标反向还原每一步变换：首先，最后一步是关于x轴的轴对称变换，我们先根据轴对称的坐标规律求出变换前的点；再依次还原“向上平移2个单位”“向左平移3个单位”的逆变换（平移的逆变换为相反方向的平移），最终即可得到点P的坐标。解题时要注意每一步变换的顺序不能颠倒，坐标变化规律要对应正确。
【解析】
我们从最终坐标$(5,4)$反向推导：
1. 最后一步是将所得点以x轴作轴对称变换得到$(5,4)$，根据“关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数”，可得轴对称变换前的点坐标为$(5, -4)$；
2. 该点是原变换中“向上平移2个单位”后得到的，逆变换为向下平移2个单位，根据平移规律“上加下减纵坐标”，可得向上平移前的点坐标为$(5, -4 - 2) = (5, -6)$；
3. 该点是原变换中“向左平移3个单位”后得到的，逆变换为向右平移3个单位，根据平移规律“左减右加横坐标”，可得向左平移前的点P的坐标为$(5 + 3, -6) = (8, -6)$。
【答案】
$(8,-6)$
【知识点】
坐标平移的变化规律；关于x轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题是坐标变换的典型基础题，解题关键是熟练掌握平移、轴对称变换对应的坐标变化规则，采用逆推法从结果反向还原的思路能大大降低解题的出错率，要注意不同变换的顺序和坐标变化方向不能混淆。
【难度系数】
0.7
本题可采用逆推法求解，从最终得到的坐标反向还原每一步变换：首先，最后一步是关于x轴的轴对称变换，我们先根据轴对称的坐标规律求出变换前的点；再依次还原“向上平移2个单位”“向左平移3个单位”的逆变换（平移的逆变换为相反方向的平移），最终即可得到点P的坐标。解题时要注意每一步变换的顺序不能颠倒，坐标变化规律要对应正确。
【解析】
我们从最终坐标$(5,4)$反向推导：
1. 最后一步是将所得点以x轴作轴对称变换得到$(5,4)$，根据“关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数”，可得轴对称变换前的点坐标为$(5, -4)$；
2. 该点是原变换中“向上平移2个单位”后得到的，逆变换为向下平移2个单位，根据平移规律“上加下减纵坐标”，可得向上平移前的点坐标为$(5, -4 - 2) = (5, -6)$；
3. 该点是原变换中“向左平移3个单位”后得到的，逆变换为向右平移3个单位，根据平移规律“左减右加横坐标”，可得向左平移前的点P的坐标为$(5 + 3, -6) = (8, -6)$。
【答案】
$(8,-6)$
【知识点】
坐标平移的变化规律；关于x轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题是坐标变换的典型基础题，解题关键是熟练掌握平移、轴对称变换对应的坐标变化规则，采用逆推法从结果反向还原的思路能大大降低解题的出错率，要注意不同变换的顺序和坐标变化方向不能混淆。
【难度系数】
0.7
14. 如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,$△ ABC$的顶点$A,B,C$及点$A_1$在网格的格点上,平移后$A$的对应点为$A_1$。
(1)在网格中画出$△ ABC$平移后所得的$△ A_1B_1C_1$。
(2)连结$AA_1,CC_1$,则$AA_1$与$CC_1$的关系是
(3)计算线段$AC$在平移到线段$A_1C_1$的过程中,扫过的区域的面积。
(1)在网格中画出$△ ABC$平移后所得的$△ A_1B_1C_1$。
(2)连结$AA_1,CC_1$,则$AA_1$与$CC_1$的关系是
平行且相等
。(3)计算线段$AC$在平移到线段$A_1C_1$的过程中,扫过的区域的面积。
答案
14. (1)略 (2)平行且相等
(3)线段 AC 在平移到线段$A_1C_1$的过程中扫过的区域的面积为$S_{四边形AA_1C_1C}=5×6-\frac{1}{2}×2×2-\frac{1}{2}×4×3-\frac{1}{2}×2×2-\frac{1}{2}×4×3=30-2-6-2-6=14$
(3)线段 AC 在平移到线段$A_1C_1$的过程中扫过的区域的面积为$S_{四边形AA_1C_1C}=5×6-\frac{1}{2}×2×2-\frac{1}{2}×4×3-\frac{1}{2}×2×2-\frac{1}{2}×4×3=30-2-6-2-6=14$
解析
【分析】
(1) 平移作图的核心是确定统一的平移规则：先观察点A到对应点A₁的位置变化，数格子得到平移的方向和移动格数，再将B、C两点按照完全相同的规则平移，得到对应点B₁、C₁，最后顺次连接A₁、B₁、C₁即可得到平移后的三角形。
(2) 根据平移的基本性质，图形平移后，各组对应点的连线互相平行且长度相等，AA₁和CC₁都是平移前后的对应点连线，可直接通过性质判断二者关系。
(3) 线段AC平移过程中扫过的区域是平行四边形AA₁C₁C，计算这类网格中不规则图形面积可采用割补法：先把平行四边形补成一个规则的大矩形，用大矩形面积减去周围四个多余的直角三角形面积，即可得到扫过区域的面积。
【解析】
(1) 先确定A到A₁的平移规律：向右平移5个单位，向下平移4个单位，将点B、C分别按此规律平移得到B₁、C₁，顺次连接A₁、B₁、C₁，即为所求△A₁B₁C₁，画图略。
(2) 由平移的性质可知，平移前后对应点的连线平行且相等，因此AA₁与CC₁的关系为平行且相等。
(3) 线段AC平移扫过的区域是平行四边形AA₁C₁C，用补形法计算面积：
将四边形AA₁C₁C补成长为6、宽为5的矩形，
则$S_{四边形AA_1C_1C}=S_{大矩形}-4个直角三角形的面积$
$=5×6-\frac{1}{2}×2×2-\frac{1}{2}×4×3-\frac{1}{2}×2×2-\frac{1}{2}×4×3$
$=30-2-6-2-6=14$
【答案】
(1) 略
(2) 平行且相等
(3) 14
【知识点】
平移的性质，平移作图，割补法求面积
【点评】
本题考查平移的相关应用，作图时需注意所有点的平移方向和距离保持一致，求解扫过区域面积时先明确图形形状，合理运用割补法可简化计算，是平移章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
(1) 平移作图的核心是确定统一的平移规则：先观察点A到对应点A₁的位置变化，数格子得到平移的方向和移动格数，再将B、C两点按照完全相同的规则平移，得到对应点B₁、C₁，最后顺次连接A₁、B₁、C₁即可得到平移后的三角形。
(2) 根据平移的基本性质，图形平移后，各组对应点的连线互相平行且长度相等，AA₁和CC₁都是平移前后的对应点连线，可直接通过性质判断二者关系。
(3) 线段AC平移过程中扫过的区域是平行四边形AA₁C₁C，计算这类网格中不规则图形面积可采用割补法：先把平行四边形补成一个规则的大矩形，用大矩形面积减去周围四个多余的直角三角形面积，即可得到扫过区域的面积。
【解析】
(1) 先确定A到A₁的平移规律：向右平移5个单位，向下平移4个单位，将点B、C分别按此规律平移得到B₁、C₁，顺次连接A₁、B₁、C₁，即为所求△A₁B₁C₁，画图略。
(2) 由平移的性质可知，平移前后对应点的连线平行且相等，因此AA₁与CC₁的关系为平行且相等。
(3) 线段AC平移扫过的区域是平行四边形AA₁C₁C，用补形法计算面积：
将四边形AA₁C₁C补成长为6、宽为5的矩形，
则$S_{四边形AA_1C_1C}=S_{大矩形}-4个直角三角形的面积$
$=5×6-\frac{1}{2}×2×2-\frac{1}{2}×4×3-\frac{1}{2}×2×2-\frac{1}{2}×4×3$
$=30-2-6-2-6=14$
【答案】
(1) 略
(2) 平行且相等
(3) 14
【知识点】
平移的性质，平移作图，割补法求面积
【点评】
本题考查平移的相关应用，作图时需注意所有点的平移方向和距离保持一致，求解扫过区域面积时先明确图形形状，合理运用割补法可简化计算，是平移章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
