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3. 如图4-10，$AD$是$BC$边上的高，$AE$平分$∠BAC$，$∠B = 75^{\circ}$，$∠C = 45^{\circ}$，求$∠DAE$的度数。
答案
【解析】：
1. 首先求$\angle BAC$的度数：
根据三角形内角和为$180^{\circ}$，已知$\angle B = 75^{\circ}$，$\angle C = 45^{\circ}$，则$\angle BAC=180^{\circ}-\angle B - \angle C$。
即$\angle BAC = 180^{\circ}-75^{\circ}-45^{\circ}=60^{\circ}$。
2. 然后求$\angle BAE$的度数：
因为$AE$平分$\angle BAC$，所以$\angle BAE=\frac{1}{2}\angle BAC$。
把$\angle BAC = 60^{\circ}$代入，得$\angle BAE=\frac{1}{2}\times60^{\circ}=30^{\circ}$。
3. 接着求$\angle BAD$的度数：
因为$AD$是$BC$边上的高，所以$\angle ADB = 90^{\circ}$。
在$\triangle ABD$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，$\angle BAD = 180^{\circ}-\angle B-\angle ADB$。
把$\angle B = 75^{\circ}$，$\angle ADB = 90^{\circ}$代入，得$\angle BAD = 180^{\circ}-75^{\circ}-90^{\circ}=15^{\circ}$。
4. 最后求$\angle DAE$的度数：
$\angle DAE=\angle BAE-\angle BAD$。
把$\angle BAE = 30^{\circ}$，$\angle BAD = 15^{\circ}$代入，得$\angle DAE = 30^{\circ}-15^{\circ}=15^{\circ}$。
【答案】：$15^{\circ}$
1. 首先求$\angle BAC$的度数：
根据三角形内角和为$180^{\circ}$，已知$\angle B = 75^{\circ}$，$\angle C = 45^{\circ}$，则$\angle BAC=180^{\circ}-\angle B - \angle C$。
即$\angle BAC = 180^{\circ}-75^{\circ}-45^{\circ}=60^{\circ}$。
2. 然后求$\angle BAE$的度数：
因为$AE$平分$\angle BAC$，所以$\angle BAE=\frac{1}{2}\angle BAC$。
把$\angle BAC = 60^{\circ}$代入，得$\angle BAE=\frac{1}{2}\times60^{\circ}=30^{\circ}$。
3. 接着求$\angle BAD$的度数：
因为$AD$是$BC$边上的高，所以$\angle ADB = 90^{\circ}$。
在$\triangle ABD$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，$\angle BAD = 180^{\circ}-\angle B-\angle ADB$。
把$\angle B = 75^{\circ}$，$\angle ADB = 90^{\circ}$代入，得$\angle BAD = 180^{\circ}-75^{\circ}-90^{\circ}=15^{\circ}$。
4. 最后求$\angle DAE$的度数：
$\angle DAE=\angle BAE-\angle BAD$。
把$\angle BAE = 30^{\circ}$，$\angle BAD = 15^{\circ}$代入，得$\angle DAE = 30^{\circ}-15^{\circ}=15^{\circ}$。
【答案】：$15^{\circ}$
4. 如图4-11，在$\triangle ABC$中，角平分线$BD,CE$交于点$O$，根据下列条件求$∠BOC$的度数：
(1)$∠ABC = 40^{\circ}$，$∠ACB = 60^{\circ}$；
(2)$∠A = 80^{\circ}$。
(1)$∠ABC = 40^{\circ}$，$∠ACB = 60^{\circ}$；
(2)$∠A = 80^{\circ}$。
答案
【解析】：
(1)已知$BD$平分$\angle ABC$，$CE$平分$\angle ACB$，$\angle ABC = 40^{\circ}$，$\angle ACB = 60^{\circ}$。
则$\angle OBC=\frac{1}{2}\angle ABC = \frac{1}{2}\times40^{\circ}=20^{\circ}$，$\angle OCB=\frac{1}{2}\angle ACB=\frac{1}{2}\times60^{\circ}=30^{\circ}$。
在$\triangle BOC$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle BOC = 180^{\circ}-\angle OBC - \angle OCB=180^{\circ}-20^{\circ}-30^{\circ}=130^{\circ}$。
(2)已知$\angle A = 80^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，则$\angle ABC+\angle ACB=180^{\circ}-\angle A = 180^{\circ}-80^{\circ}=100^{\circ}$。
因为$BD$平分$\angle ABC$，$CE$平分$\angle ACB$，所以$\angle OBC+\angle OCB=\frac{1}{2}(\angle ABC + \angle ACB)=\frac{1}{2}\times100^{\circ}=50^{\circ}$。
在$\triangle BOC$中，$\angle BOC = 180^{\circ}-(\angle OBC + \angle OCB)=180^{\circ}-50^{\circ}=130^{\circ}$。
【答案】：
(1)$130^{\circ}$
(2)$130^{\circ}$
(1)已知$BD$平分$\angle ABC$，$CE$平分$\angle ACB$，$\angle ABC = 40^{\circ}$，$\angle ACB = 60^{\circ}$。
则$\angle OBC=\frac{1}{2}\angle ABC = \frac{1}{2}\times40^{\circ}=20^{\circ}$，$\angle OCB=\frac{1}{2}\angle ACB=\frac{1}{2}\times60^{\circ}=30^{\circ}$。
在$\triangle BOC$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle BOC = 180^{\circ}-\angle OBC - \angle OCB=180^{\circ}-20^{\circ}-30^{\circ}=130^{\circ}$。
(2)已知$\angle A = 80^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，则$\angle ABC+\angle ACB=180^{\circ}-\angle A = 180^{\circ}-80^{\circ}=100^{\circ}$。
因为$BD$平分$\angle ABC$，$CE$平分$\angle ACB$，所以$\angle OBC+\angle OCB=\frac{1}{2}(\angle ABC + \angle ACB)=\frac{1}{2}\times100^{\circ}=50^{\circ}$。
在$\triangle BOC$中，$\angle BOC = 180^{\circ}-(\angle OBC + \angle OCB)=180^{\circ}-50^{\circ}=130^{\circ}$。
【答案】：
(1)$130^{\circ}$
(2)$130^{\circ}$
5. 如图4-12，在$\triangle ABC$中，$AB = 10$，$AC = 15$，$BD,CE$是$\triangle ABC$的高，且$BD = 8$，求$CE$的长。
答案
【解析】：
根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为这条底对应的高）。
对于$\triangle ABC$，以$AC$为底，$BD$为高时，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BD$；以$AB$为底，$CE$为高时，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CE$。
因为同一个三角形面积相等，所以$\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}AB\cdot CE$。
已知$AB = 10$，$AC = 15$，$BD = 8$，将数值代入$\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}AB\cdot CE$中，得到$\frac{1}{2}\times15\times8=\frac{1}{2}\times10\times CE$。
化简方程$15\times8 = 10\times CE$，即$CE=\frac{15\times8}{10}$，计算可得$CE = 12$。
【答案】：$12$
根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为这条底对应的高）。
对于$\triangle ABC$，以$AC$为底，$BD$为高时，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BD$；以$AB$为底，$CE$为高时，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CE$。
因为同一个三角形面积相等，所以$\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}AB\cdot CE$。
已知$AB = 10$，$AC = 15$，$BD = 8$，将数值代入$\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}AB\cdot CE$中，得到$\frac{1}{2}\times15\times8=\frac{1}{2}\times10\times CE$。
化简方程$15\times8 = 10\times CE$，即$CE=\frac{15\times8}{10}$，计算可得$CE = 12$。
【答案】：$12$
1. 已知$\triangle ABC≌\triangle DEF$，且$∠A$与$∠D$是对应角，$∠B$和$∠E$是对应角，则下列说法正确的是( )
A. $AC$与$DF$是对应边
B. $AC$与$DE$是对应边
C. $AC$与$EF$是对应边
D. 不能确定$AC$的对应边
A. $AC$与$DF$是对应边
B. $AC$与$DE$是对应边
C. $AC$与$EF$是对应边
D. 不能确定$AC$的对应边
答案
A
2. 如图4-13，$\triangle ABC≌\triangle CDA$，有下列结论：①$AB$与$AD$是对应边；②$AD$与$CB$是对应边；③$∠CAB$与$∠ACD$是对应角；④$∠BAC$与$∠DAC$是对应角。其中正确的有( )
A. ①③
B. ②③
C. ①④
D. ②④
A. ①③
B. ②③
C. ①④
D. ②④
答案
B
