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12. 如图,$△ABC≌△DEC$,$BC= 2$,$CD= 3$,点$B$,$C$,$D$在同一直线上,点$E$在$AC$上,延长$DE$交$AB$于点$F$。
(1) 求$AE$的长;
因为$\triangle ABC\cong\triangle DEC$，根据全等三角形对应边相等，可得$AC = DC = 3$，$EC = BC = 2$。
那么$AE=AC - EC$，将$AC = 3$，$EC = 2$代入可得$AE = 3 - 2=
(2) 求$∠BFD$的度数。
因为$\triangle ABC\cong\triangle DEC$，根据全等三角形对应角相等，所以$\angle A=\angle D$，$\angle B=\angle DEC$。
又因为$\angle AEF=\angle DEC$（对顶角相等），所以$\angle B=\angle AEF$。
在$\triangle ABC$中，$\angle A+\angle B+\angle ACB = 180^{\circ}$，因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，所以$\angle A+\angle B=90^{\circ}$。
在$\triangle AEF$中，$\angle A+\angle AEF+\angle AFE = 180^{\circ}$，把$\angle B=\angle AEF$代入可得$\angle A+\angle B+\angle AFE = 180^{\circ}$，又因为$\angle A+\angle B = 90^{\circ}$，所以$\angle AFE = 90^{\circ}$，而$\angle BFD=\angle AFE$（对顶角相等），所以$\angle BFD =
(1) 求$AE$的长;
因为$\triangle ABC\cong\triangle DEC$，根据全等三角形对应边相等，可得$AC = DC = 3$，$EC = BC = 2$。
那么$AE=AC - EC$，将$AC = 3$，$EC = 2$代入可得$AE = 3 - 2=
1
$。(2) 求$∠BFD$的度数。
因为$\triangle ABC\cong\triangle DEC$，根据全等三角形对应角相等，所以$\angle A=\angle D$，$\angle B=\angle DEC$。
又因为$\angle AEF=\angle DEC$（对顶角相等），所以$\angle B=\angle AEF$。
在$\triangle ABC$中，$\angle A+\angle B+\angle ACB = 180^{\circ}$，因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，所以$\angle A+\angle B=90^{\circ}$。
在$\triangle AEF$中，$\angle A+\angle AEF+\angle AFE = 180^{\circ}$，把$\angle B=\angle AEF$代入可得$\angle A+\angle B+\angle AFE = 180^{\circ}$，又因为$\angle A+\angle B = 90^{\circ}$，所以$\angle AFE = 90^{\circ}$，而$\angle BFD=\angle AFE$（对顶角相等），所以$\angle BFD =
90^{\circ}
$。答案
【解析】：
(1) 因为$\triangle ABC\cong\triangle DEC$，根据全等三角形对应边相等，可得$AC = DC = 3$，$EC = BC = 2$。
那么$AE=AC - EC$，将$AC = 3$，$EC = 2$代入可得$AE = 3 - 2=1$。
(2) 因为$\triangle ABC\cong\triangle DEC$，根据全等三角形对应角相等，所以$\angle A=\angle D$，$\angle B=\angle DEC$。
又因为$\angle AEF=\angle DEC$（对顶角相等），所以$\angle B=\angle AEF$。
在$\triangle ABC$中，$\angle A+\angle B+\angle ACB = 180^{\circ}$，因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，所以$\angle A+\angle B=90^{\circ}$。
在$\triangle AEF$中，$\angle A+\angle AEF+\angle AFE = 180^{\circ}$，把$\angle B=\angle AEF$代入可得$\angle A+\angle B+\angle AFE = 180^{\circ}$，又因为$\angle A+\angle B = 90^{\circ}$，所以$\angle AFE = 90^{\circ}$，而$\angle BFD=\angle AFE$（对顶角相等），所以$\angle BFD = 90^{\circ}$。
【答案】：
(1) $1$；
(2) $90^{\circ}$。
(1) 因为$\triangle ABC\cong\triangle DEC$，根据全等三角形对应边相等，可得$AC = DC = 3$，$EC = BC = 2$。
那么$AE=AC - EC$，将$AC = 3$，$EC = 2$代入可得$AE = 3 - 2=1$。
(2) 因为$\triangle ABC\cong\triangle DEC$，根据全等三角形对应角相等，所以$\angle A=\angle D$，$\angle B=\angle DEC$。
又因为$\angle AEF=\angle DEC$（对顶角相等），所以$\angle B=\angle AEF$。
在$\triangle ABC$中，$\angle A+\angle B+\angle ACB = 180^{\circ}$，因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，所以$\angle A+\angle B=90^{\circ}$。
在$\triangle AEF$中，$\angle A+\angle AEF+\angle AFE = 180^{\circ}$，把$\angle B=\angle AEF$代入可得$\angle A+\angle B+\angle AFE = 180^{\circ}$，又因为$\angle A+\angle B = 90^{\circ}$，所以$\angle AFE = 90^{\circ}$，而$\angle BFD=\angle AFE$（对顶角相等），所以$\angle BFD = 90^{\circ}$。
【答案】：
(1) $1$；
(2) $90^{\circ}$。
13. 综合实践。
【提出问题】
唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马。如图1,将军从山脚下的点$A$出发,到达河岸饮马后再回到点$B$宿营,他时常想,怎么走才能使每天走的路程之和最短呢?
【分析问题】
小亮:作点$B$关于直线$l$的对称点$B'$,连接$AB'$与直线$l$交于点$C$,点$C$就是饮马的地方,此时所走的路程之和就是最短的(如图2)。
小慧:你能详细解释为什么吗?
小亮:如图3,在直线$l$上另取任意一点$C'$,连接$AC'$,$BC'$,$B'C'$,我只要说明$AC+CB＜AC'+C'B'$即可。因为直线$l$是点$B$,$B'$的对称轴,点$C$,$C'$在$l$上,所以$CB= $
请完善小亮的说明过程。
本问题实际上是利用转化的思想,把在直线同侧的$A$,$B$转化在直线的两侧,从而利用“
【解决问题】
如图4,牧马人从$A$地出发,先到草地边某一处牧马,再到河边饮马,然后回到$B$处,请画出最短路径。
【提出问题】
唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马。如图1,将军从山脚下的点$A$出发,到达河岸饮马后再回到点$B$宿营,他时常想,怎么走才能使每天走的路程之和最短呢?
【分析问题】
小亮:作点$B$关于直线$l$的对称点$B'$,连接$AB'$与直线$l$交于点$C$,点$C$就是饮马的地方,此时所走的路程之和就是最短的(如图2)。
小慧:你能详细解释为什么吗?
小亮:如图3,在直线$l$上另取任意一点$C'$,连接$AC'$,$BC'$,$B'C'$,我只要说明$AC+CB＜AC'+C'B'$即可。因为直线$l$是点$B$,$B'$的对称轴,点$C$,$C'$在$l$上,所以$CB= $
$CB'$
,$C'B= $$C'B'$
,所以$AC+CB= AC+CB'= $$AB'$
。在$△AC'B'$中,因为$AB'＜AC'+C'B'$,所以$AC + CB$
$＜AC'+C'B'$,即$AC+CB$最小。请完善小亮的说明过程。
本问题实际上是利用转化的思想,把在直线同侧的$A$,$B$转化在直线的两侧,从而利用“
两点之间线段最短
”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决(在连接$A$,$B'$两点的线中,线段$AB'$最短)。【解决问题】
如图4,牧马人从$A$地出发,先到草地边某一处牧马,再到河边饮马,然后回到$B$处,请画出最短路径。
答案
【解析】：
根据轴对称的性质，对称轴上的点到对称点的距离相等。因为直线$l$是点$B$，$B'$的对称轴，点$C$，$C'$在$l$上，所以$CB = CB'$，$C'B = C'B'$。
那么$AC + CB = AC + CB' = AB'$。
在$\triangle AC'B'$中，因为$AB' \lt AC' + C'B'$，所以$AC + CB \lt AC' + C'B'$，即$AC + CB$最小。
本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的$A$，$B$转化在直线的两侧，从而利用“两点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决。
【答案】：$CB'$；$C'B'$；$AB'$；$AC + CB$；两点之间线段最短。
根据轴对称的性质，对称轴上的点到对称点的距离相等。因为直线$l$是点$B$，$B'$的对称轴，点$C$，$C'$在$l$上，所以$CB = CB'$，$C'B = C'B'$。
那么$AC + CB = AC + CB' = AB'$。
在$\triangle AC'B'$中，因为$AB' \lt AC' + C'B'$，所以$AC + CB \lt AC' + C'B'$，即$AC + CB$最小。
本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的$A$，$B$转化在直线的两侧，从而利用“两点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决。
【答案】：$CB'$；$C'B'$；$AB'$；$AC + CB$；两点之间线段最短。
