1. 如图,菱形 $ABCD$ 中,$\angle D = 150^{\circ}$,则 $\angle 1 = $ ()

A. $30^{\circ}$
B. $25^{\circ}$
C. $20^{\circ}$
D. $15^{\circ}$

D

2. 在四边形 $ABCD$ 中,$\angle A$,$\angle B$,$\angle C$,$\angle D$ 的度数之比如下.
① $3:4:3:4$ ② $3:3:4:4$ ③ $2:3:4:5$ ④ $3:4:4:3$
其中能判定四边形 $ABCD$ 是平行四边形的条件是 ()
A. ①
B. ②
C. ③
D. ④

A

3. [2024·河南实验中学九年级学情调研]如下左图,把边长为 $5$ 的正方形 $ABCD$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $45^{\circ}$ 得到正方形 $AB'C'D'$,边 $BC$ 与 $D'C'$ 交于点 $O$,则四边形 $ABOD'$ 的周长是 ()

A. $10\sqrt{2}$
B. $10$
C. $5\sqrt{2}$
D. $5 + 5\sqrt{2}$

A

4. $\triangle ABC$ 与 $\square DEFG$ 如上中图放置,点 $D$,$G$ 分别在边 $AB$,$AC$ 上,点 $E$,$F$ 在边 $BC$ 上. 已知 $BE = DE$,$CF = FG$,则 $\angle A$ 的度数为 ()
A. $80^{\circ}$
B. $90^{\circ}$
C. $100^{\circ}$
D. $110^{\circ}$

B

5. [2022·河南]如上右图,在菱形 $ABCD$ 中,对角线 $AC$,$BD$ 相交于点 $O$,点 $E$ 为 $CD$ 的中点,若 $OE = 3$,则菱形 $ABCD$ 的周长为 ()
A. $6$
B. $12$
C. $24$
D. $48$

C

1. [2023·河南]矩形 $ABCD$ 中,$M$ 为对角线 $BD$ 的中点,点 $N$ 在边 $AD$ 上,且 $AN = AB = 1$. 当以点 $D$,$M$,$N$ 为顶点的三角形是直角三角形时,$AD$ 的长为______.

$2$或$1 + \sqrt{2}$

2. 如图甲,$\text{Rt}\triangle ABC$ 中,$\angle BAC = 90^{\circ}$,点 $D$ 是线段 $AC$ 的中点,连接 $BD$ 并延长至点 $E$,使 $BE = 2BD$. 连接 $AE$,$CE$.
(1) 求证：四边形 $ABCE$ 是平行四边形.
(2) 如图乙,将三角板直角顶点 $M$ 放在 $AE$ 边上,两条直角边分别过点 $B$ 和点 $C$,若 $\angle MEC = \angle EMC$,$BM$ 交 $AC$ 于点 $N$,求证：$\triangle ABN \cong \triangle MCN$.

(1) 因为点$D$是$AC$中点，所以$AD = CD$，又$BE = 2BD$，即$BD = ED$，对角线$AC$与$BE$互相平分，所以四边形$ABCE$是平行四边形。
(2) 由四边形$ABCE$是平行四边形得$AE// BC$，$AB = CE$，所以$\angle MEC=\angle ECB$，又$\angle MEC=\angle EMC$，则$\angle ECB=\angle EMC$，且$\angle BAN=\angle CMN = 90^{\circ}$，在$\triangle ABN$和$\triangle MCN$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle ANB=\angle MNC\\\angle BAN=\angle CMN\\AB = CE\end{array}\right.$，所以$\triangle ABN\cong\triangle MCN(AAS)$。