8. 如图,$BA\perp AC$,$CD// AB$,$BC= DE$,且$BC\perp DE$,若$AB= 4$,$CD= 10$,则$AE$的长为____。

【中档题运用】
8. 6

9.(2025广元)如图,在平面直角坐标系中,点$B的坐标为(3,1)$,$OA= OB$,$\angle AOB= 90^{\circ}$,则点$A$的坐标为____。

【中档题运用】
9. $ (-1,3) $

10.(教材变式)如图,$AC= BC$,$\angle ACB= \angle CDA= 90^{\circ}$,$CD= 4$。则$S_{\triangle BDC}$的值为____。

【中档题运用】
10. 8

11. 如图是一个工业开发区局部的设计图,河的同一侧有两个工厂$A和B$,$AD$,$BC$的长表示两个工厂到河岸的距离,其中$E$是进水口,$D$,$C$为两个排污口。已知$AE= BE$,$\angle AEB= 90^{\circ}$,$AD\perp DC$,$BC\perp DC$,点$D$,$E$,$C$在同一直线上,$AD= 150m$,$BC= 350m$。求两个排污口之间的水平距离$DC$。

【中档题运用】
11. 解：$ ∵∠AEB = 90 ^ { \circ } $，
$ AD⊥DC,BC⊥DC $，
$ ∴∠AEB = ∠ADE = ∠BCE = 90 ^ { \circ } $，
$ ∴∠AED + ∠BEC = ∠EBC + ∠BEC = 90 ^ { \circ } $，
$ ∴∠AED = ∠EBC $。
又$ ∵AE = BE $，
$ ∴△ADE≌△ECB(AAS) $，
$ ∴AD = CE,DE = BC $，
$ ∴DC = DE + CE $
$ = BC + AD $
$ = 350 + 150 = 500 ( m ) $。
答：两个排污口之间的水平距离$ DC $为$ 500 m $。

12. 如图,锐角$\triangle ABC的高AD$,$BE交于点F$,且$BF= AC$。
(1)求证：$DF= DC$；
(2)若$BC= 9$,$CD= 3$,求$S_{\triangle ABF}$。

【中档题运用】
12. 解：(1)$ ∵AD⊥BC,BE⊥AC $，
$ ∴∠ADB = ∠ADC = ∠BEC = 90 ^ { \circ } $，
$ ∴∠EBC + ∠C = 90 ^ { \circ } $，
$ ∠DAC + ∠C = 90 ^ { \circ } $，
$ ∴∠EBC = ∠DAC $。
在$ △CAD $与$ △FBD $中，
$ \left\{ \begin{array} { l } { ∠DAC = ∠FBD, } \\ { ∠ADC = ∠BDF, } \\ { AC = BF, } \end{array} \right. $
$ ∴△CAD≌△FBD(AAS) $，
$ ∴FD = DC $；
(2)由(1)得$ DF = DC = 3 $，
$ BD = AD $。
$ ∵BC = 9 $，
$ ∴AD = BD = BC - CD = 6 $，
$ ∴AF = AD - FD = 6 - 3 = 3 $，
$ ∴S _ { △ABF } = \frac { 1 } { 2 } \cdot AF \cdot BD $
$ = \frac { 1 } { 2 } × 3 × 6 $
$ = 9 $。

13. 如图,$AB= AC$,$\triangle ABC的两条高CD$,$BE交于点F$。
(1)求证：$CD= BE$；
(2)延长$BE至点G$,使$FG= AC$,连接$DG$,$CG$,若$S_{\triangle CDG}= 32$,求$BE$的长。

【综合题探究】
13. 解：(1)$ ∵CD,BE $是$ △ABC $的两条高，
$ ∴∠CDA = ∠BEA = 90 ^ { \circ } $。
又$ ∵∠A = ∠A,AB = AC $，
$ ∴△ACD≌△ABE(AAS) $，
$ ∴CD = BE $；
(2)过点$ G $作$ GH⊥DC $，交$ DC $的延长线于点$ H $。
$ ∵BE⊥AC,CD⊥AB $，
$ ∴∠ACD + ∠CFE = 90 ^ { \circ } $，
$ ∠A + ∠ACD = 90 ^ { \circ } $，
$ ∴∠A = ∠CFE $。
又$ ∵AC = FG,∠ADC = ∠H = 90 ^ { \circ } $，
$ ∴△ACD≌△FGH(AAS) $，
$ ∴CD = GH $。
$ ∵S _ { △CDG } = \frac { 1 } { 2 } CD \cdot GH = 32 $，
$ ∴CD ^ { 2 } = 64 $，
$ ∴BE = CD = 8 $。