4.如图,正比例函数$y=x$与反比例函数$y=\frac{1}{x}$的图象相交于$A,C$两点,$AB\perp x$轴于点$B$,$CD\perp y$轴于点$D$,则四边形$ABCD$的面积为().

A.1
B.$\frac{3}{2}$
C.2
D.$\frac{5}{2}$

B

联立正比例函数$y=x$与反比例函数$y=\frac{1}{x}$，得$x=\frac{1}{x}$，解得$x=1$或$x=-1$，故交点$A(1,1)$，$C(-1,-1)$。
$AB\perp x$轴于$B$，则$B(1,0)$；$CD\perp y$轴于$D$，则$D(0,-1)$。
四边形$ABCD$面积可分割为梯形$ABOD$与$\triangle OCD$：
梯形$ABOD$：上底$AB=1$，下底$OD=1$，高$OB=1$，面积$=\frac{(1+1)×1}{2}=1$。
$\triangle OCD$：底$OD=1$，高$|x_C|=1$，面积$=\frac{1×1}{2}=\frac{1}{2}$。
总面积$=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$。

5.如图,$\triangle ABO$的顶点$A$和$AB$边的中点$C$都在双曲线$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的一个分支上,点$B$在$x$轴上,$CD\perp OB$于点$D$.若$\triangle AOC$的面积为3,则$k=$().

A.2
B.3
C.4
D.$\frac{3}{2}$

C

设点$A(a,\frac{k}{a})$，点$B(b,0)$，$a＞0,b＞0$。
∵$C$是$AB$中点，∴$C\left(\frac{a+b}{2},\frac{k}{2a}\right)$。
∵$C$在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，∴$\frac{k}{2a}=\frac{k}{\frac{a+b}{2}}$，化简得$b=3a$，故$C(2a,\frac{k}{2a})$。
$\triangle AOC$面积：由坐标$O(0,0)$，$A(a,\frac{k}{a})$，$C(2a,\frac{k}{2a})$，用面积公式得：
$S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}\left|0·\left(\frac{k}{a}-\frac{k}{2a}\right)+a·\left(\frac{k}{2a}-0\right)+2a·\left(0-\frac{k}{a}\right)\right|=\frac{3k}{4}$
∵$S_{\triangle AOC}=3$，∴$\frac{3k}{4}=3$，解得$k=4$。

6.一个菱形的面积为12 $cm^2$,且对角线长分别为$x$ cm和$y$ cm,则$y$关于$x$的函数关系式是.

$y = \frac{24}{x}$

根据菱形的面积公式，菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，已知面积为$12cm^2$，可得方程$\frac{1}{2}xy = 12$，求解$y$关于$x$的函数关系式，两边同时乘以$2$得$xy = 24$，再两边同时除以$x(x\gt0)$，解得$y=\frac{24}{x}$。

7.$y=-\frac{2}{x}$与$y=-x+1$的图象的交点坐标是.

$(2, -1),(-1, 2)$

联立两个函数的解析式，即解方程组：
$\begin{cases}y = -\frac{2}{x}, \\y = -x + 1.\end{cases}$
将第一个方程的$y$值代入第二个方程，得到：
$-\frac{2}{x} = -x + 1$，
两边同时乘以$x$（$x\neq0$），得到：
$-2 = -x^2 + x$，
整理得：
$x^2 - x - 2 = 0$，
因式分解该二次方程，得到：
$(x - 2)(x + 1) = 0$，
解得$x$的值为：
$x_1 = 2, \quad x_2 = -1$，
将$x_1 = 2$代入任一方程求$y$的值，得：
$y_1 = -\frac{2}{2} = -1$，
将$x_2 = -1$代入任一方程求$y$的值，得：
$y_2 = -\frac{2}{-1} = 2$，
因此，两个函数的交点坐标为：
$(2, -1) \quad 和 \quad (-1, 2)$。

8.如图,以正方形$ABCD$的两条对角线的交点$O$为坐标原点建立平面直角坐标系,双曲线$y=\frac{3}{x}$经过顶点$D$,则正方形的面积为.

12

设点D坐标为$(a,a)$（$a＞0$），因双曲线$y=\frac{3}{x}$过点D，故$a=\frac{3}{a}$，解得$a=\sqrt{3}$（舍负）。则OD长为$\sqrt{(\sqrt{3})^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{6}$，正方形对角线AC=2OD=2$\sqrt{6}$，面积为$\frac{1}{2}×(2\sqrt{6})^2=12$。

9.若点$A(m,-2)$在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上,则当函数值$y\geqslant-2$时,自变量$x$的取值范围是.

$x\leq-2$或$x＞0$

因为点$A(m, -2)$在反比例函数$y = \frac{4}{x}$的图象上，所以将$y = -2$代入得：
$-2 = \frac{4}{m}$，
解得$m = -2$，即点$A(-2, -2)$。
反比例函数$y = \frac{4}{x}$，当$y \geq -2$时，需满足：
$\frac{4}{x} \geq -2$。
分两种情况讨论：
1. 当$x ＞ 0$时，$\frac{4}{x} ＞ 0$，显然满足$\frac{4}{x} \geq -2$，所以$x ＞ 0$。
2. 当$x ＜ 0$时，不等式两边乘以负数$x$，需反转不等号，得：
$4 \leq -2x$，
即$-2x \geq 4$，
解得$x \leq -2$。
综合两种情况，自变量$x$的取值范围为$x \leq -2$或$x ＞ 0$。

10.如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y=k_1x+b$的图象与反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$的图象交于点$A(1,4)$,$B(4,1)$,则$\triangle AOB$的面积是.

$\frac{15}{2}$

将点A(1,4)代入一次函数$y=k_1x+b$，得$k_1+b=4$；将点B(4,1)代入，得$4k_1+b=1$。联立解得$k_1=-1$，$b=5$，所以一次函数解析式为$y=-x+5$。令$y=0$，得$-x+5=0$，$x=5$，即一次函数与x轴交于点C(5,0)。
$S_{\triangle AOB}=S_{\triangle AOC}-S_{\triangle BOC}$，其中$S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}×5×4=10$，$S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}×5×1=2.5$，所以$S_{\triangle AOB}=10 - 2.5=7.5$，即$\frac{15}{2}$。