24. （12 分）如图，一次函数 $y = -\frac{1}{2}x + 2$ 分别交 $y$ 轴、$x$ 轴于 $A$，$B$ 两点，抛物线 $y = -x^2 + bx + c$ 过 $A$，$B$ 两点.
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）作垂直于 $x$ 轴的直线 $x = t$，在第一象限交直线 $AB$ 于 $M$，交这个抛物线于 $N$. 当 $t$ 取何值时，$MN$ 有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的情况下，以 $A$，$M$，$N$，$D$ 为顶点作平行四边形，求第四个顶点 $D$ 的坐标.

24. (1)$y=-x^{2}+\dfrac{7}{2}x+2$ (2)$t=2$时，$MN$有最大值，$MN$的最大值是 4 (3)$D$为$(0,-2)$，$(0,6)$或$(4,4)$

（1）解：对于一次函数$y = -\frac{1}{2}x + 2$，当$x = 0$时，$y = 2$，则$A(0,2)$；当$y = 0$时，$-\frac{1}{2}x + 2 = 0$，解得$x = 4$，则$B(4,0)$。
将$A(0,2)$，$B(4,0)$代入抛物线$y = -x^2 + bx + c$，得$\begin{cases}c = 2 \\ -16 + 4b + c = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}b = \frac{7}{2} \\ c = 2\end{cases}$，所以抛物线解析式为$y = -x^2 + \frac{7}{2}x + 2$。
（2）解：因为直线$x = t$交直线$AB$于$M$，交抛物线于$N$，所以$M(t, -\frac{1}{2}t + 2)$，$N(t, -t^2 + \frac{7}{2}t + 2)$。
$MN = (-t^2 + \frac{7}{2}t + 2) - (-\frac{1}{2}t + 2) = -t^2 + 4t = -(t - 2)^2 + 4$。
当$t = 2$时，$MN$有最大值，最大值为$4$。
（3）解：由（2）知$t = 2$，则$M(2,1)$，$N(2,5)$，$A(0,2)$。
①以$AM$为对角线，$D(0 + 2 - 2, 2 + 1 - 5) = (0,-2)$；
②以$AN$为对角线，$D(0 + 2 - 2, 2 + 5 - 1) = (0,6)$；
③以$MN$为对角线，$D(2 + 2 - 0, 1 + 5 - 2) = (4,4)$。
综上，$D$的坐标为$(0,-2)$，$(0,6)$或$(4,4)$。