9. 我国是最早了解勾股定理的国家之一。根据《周髀算经》的记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称勾股定理为“商高定理”。三国时代的蒋铭祖在《蒋铭祖算经》中对勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一种证明。下列四幅图中，不能证明勾股定理的是
()

C

要判断哪个图形不能证明勾股定理，需通过面积法分析各图形是否能推导出$a^2 + b^2 = c^2$（$a,b$为直角边，$c$为斜边）。
选项A
图形为大正方形（边长$a+b$）内含小正方形（边长$c$）及4个直角三角形（直角边$a,b$）。
大正方形面积：$(a+b)^2$
也等于小正方形面积+4个三角形面积：$c^2 + 4×\frac{1}{2}ab = c^2 + 2ab$
等式：$(a+b)^2 = c^2 + 2ab$，展开化简得$a^2 + b^2 = c^2$。
可证明勾股定理。
选项B
图形为大正方形（边长$a+b$）内含小正方形（边长$c$）及4个直角三角形（直角边$a,b$），与A结构类似。
大正方形面积：$(a+b)^2$
也等于小正方形面积+4个三角形面积：$c^2 + 2ab$
等式：$(a+b)^2 = c^2 + 2ab$，化简得$a^2 + b^2 = c^2$。
可证明勾股定理。
选项C
图形为大正方形分割为边长$a$、$b$的小正方形及两个矩形，仅体现$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$（完全平方公式），未涉及斜边$c$及直角三角形面积关系，无法建立$a^2 + b^2$与$c^2$的等式。
不能证明勾股定理。
选项D
图形为直角梯形（上底$a$、下底$b$、高$a+b$），分割为2个直角三角形（直角边$a,b$）和1个直角三角形（斜边$c$）。
梯形面积：$\frac{(a+b)(a+b)}{2} = \frac{(a+b)^2}{2}$
也等于3个三角形面积和：$2×\frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}c^2 = ab + \frac{1}{2}c^2$
等式：$\frac{(a+b)^2}{2} = ab + \frac{1}{2}c^2$，化简得$a^2 + b^2 = c^2$。
可证明勾股定理。

10. 如图，在$\bigtriangleup ABC$中，$\angle ACB = 90°$,$BC = 6$,$AC = 8$。将$\bigtriangleup ADE$沿$DE$翻折，使点$A$与点$B$重
合，则$CE$的长为()


A.$\frac{19}{8}$
B.2
C.$\frac{25}{4}$
D.$\frac{7}{4}$

D

设$CE=x$，则$AE=AC - CE=8 - x$。
由翻折性质知$AE=BE$，故$BE=8 - x$。
在$Rt\triangle BCE$中，$\angle ACB=90°$，由勾股定理得$BC^2 + CE^2=BE^2$，即$6^2 + x^2=(8 - x)^2$。
解得$36 + x^2=64 - 16x + x^2$，化简得$16x=28$，$x=\frac{7}{4}$。

11. 25 的算术平方根是，$\sqrt[3]{-27}$的相反数为。

第一空：
$\because5^2 = 25$，
$\therefore25$的算术平方根是$5$。
第二空：
$\because (-3)^3=-27$，
$\therefore\sqrt[3]{-27}=-3$，
$\sqrt[3]{-27}$的相反数为$3$。
故答案为 $5$；$3$。

12. 若$x^3 = -\frac{1}{27}$，则$x =$。

因为$x^3 = -\frac{1}{27}$，所以$x = \sqrt[3]{-\frac{1}{27}} = -\sqrt[3]{\frac{1}{27}} = -\frac{1}{3}$。
$-\frac{1}{3}$

13. 在$\bigtriangleup ABC$中，$\angle ACB = 90°$,$AB + AC = 8$,$BC = 4$，则$AB$的长是。

设$AB = x$，则$AC = 8 - x$。
在$\bigtriangleup ABC$中，$\angle ACB = 90{°}$，根据勾股定理，有：
$AB^{2} = AC^{2} + BC^{2}$
代入已知条件，得：
$x^{2} = (8 - x)^{2} + 4^{2}$
$x^{2} = 64 - 16x + x^{2} + 16$
整理得：
$16x = 80$
解得：
$x = 5$
故$AB$的长是$5$。

14. 如图，供给船要给$C$岛运送物资，从海岸线$AB$的港口$A$出发向北偏东$40°$方向直线航行$60\ nmile$到达$C$岛。测得海岸线上的港口$B$在$C$岛南偏东$50°$方向。若$A$,$B$两港口之间的距离为$65\ nmile$，则$C$岛到港口$B$的距离是$nmile$。

在△ABC中，由方向角可知：
从A向北偏东40°到C，从C南偏东50°到B，过C作南北方向直线，可得∠ACB=40°+50°=90°，即△ABC为直角三角形，∠C=90°。
已知AC=60 nmile，AB=65 nmile，由勾股定理得：
BC²=AB²-AC²=65²-60²=4225-3600=625，
∴BC=√625=25 nmile。
25

15. 如图，折叠长方形的一边$AD$，使点$D$落在$BC$边的点$F$处。如果$AB = 8\ cm$,$BC = 10\ cm$，
则$EC$的长 = 。

∵四边形ABCD是长方形，
∴AB=CD=8cm，AD=BC=10cm，∠B=∠C=∠D=90°。
由折叠性质得：AF=AD=10cm，DE=EF。
在Rt△ABF中，AB²+BF²=AF²，
即8²+BF²=10²，解得BF=6cm。
∴FC=BC-BF=10-6=4cm。
设EC=xcm，则DE=CD-EC=(8-x)cm，EF=DE=(8-x)cm。
在Rt△EFC中，FC²+EC²=EF²，
即4²+x²=(8-x)²，
16+x²=64-16x+x²，
16x=48，
x=3。
EC的长为3cm。