23.(本题满分 11 分)
在学习勾股定理时，我们学会运用图(1)验证它的正确性。图(1)中大正方形的面积可表示为$(a + b)^2$，也可表示为$c^2 + 4 × (\frac{1}{2}ab)$，即$(a + b)^2 = c^2 + 4 × (\frac{1}{2}ab)$，由此推出勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$。这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”。

(1)请你用图(2)(2002 年国际数学家大会会标)的面积表达式验证勾股定理(其中四个直角三角形全等);
(2)请你用(3)提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$;
(3)请你自己设计图形的组合，用其面积表达式验证$(x + p)(x + q) = x^2 + px + qx + pq = x^2 + (p + q)x + pq$。

(1) 图(2)中大正方形面积可表示为$c^2$，也可表示为4个直角三角形面积与中间小正方形面积之和，即$4×(\frac{1}{2}ab)+(a - b)^2$。则$c^2=2ab+(a^2-2ab+b^2)$，化简得$c^2=a^2+b^2$，勾股定理得证。
(2) 将图(3)中边长为$x$的正方形、边长为$y$的正方形及两个长$x$宽$y$的矩形组合成边长为$(x + y)$的大正方形。大正方形面积$=(x + y)^2$，同时面积为$x^2 + y^2 + 2×(xy)$，故$(x + y)^2=x^2 + 2xy + y^2$。
(3) 设计长$(x + p)$、宽$(x + q)$的矩形，分割为边长$x$的正方形、长$x$宽$p$的矩形、长$x$宽$q$的矩形及长$p$宽$q$的矩形。矩形面积$=(x + p)(x + q)$，同时面积为$x^2+px+qx+pq$，故$(x + p)(x + q)=x^2+(p + q)x+pq$。

(1)图(2)中大正方形的面积可表示为$c^2$，也可表示为$(b - a)^2+4×(\frac{1}{2}ab)$，即$c^2=(b - a)^2 + 4×(\frac{1}{2}ab)$，展开得$c^2=b^2-2ab+a^2 + 2ab$，化简得$a^2 + b^2=c^2$。
(2)将图(3)中的一个边长为$x$的正方形、一个边长为$y$的正方形和两个长为$x$宽为$y$的长方形组合成一个边长为$(x + y)$的大正方形。大正方形面积为$(x + y)^2$，各部分面积之和为$x^2 + y^2+2xy$，故$(x + y)^2=x^2 + 2xy + y^2$。
(3)画一个长为$(x + p)$、宽为$(x + q)$的长方形，将其分割为一个边长为$x$的正方形、一个长为$x$宽为$p$的长方形、一个长为$x$宽为$q$的长方形和一个长为$p$宽为$q$的长方形。大长方形面积为$(x + p)(x + q)$，各部分面积之和为$x^2+px + qx+pq$，故$(x + p)(x + q)=x^2+(p + q)x+pq$。