20. (本题满分8分)
如图，在$\triangle ABC$中，$\angle BAC$的平分线交$BC$于点$D$，过点$D$作$DE// AB$交$AC$于点$E$。
(1)求证：$\triangle AED$是等腰三角形；
(2)若$\angle C=110^{\circ}$，$\angle B=30^{\circ}$，求$\angle AED$的度数。

(1)证明：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD。
∵DE//AB，
∴∠ADE=∠BAD。
∴∠ADE=∠CAD。
∴AE=DE。
∴△AED是等腰三角形。
(2)解：
在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-110°=40°。
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=20°。
由(1)知∠ADE=∠BAD=20°。
在△AED中，∠AED=180°-∠CAD-∠ADE=180°-20°-20°=140°。
∴∠AED的度数为140°。

21. (本题满分10分)
如图，$\triangle ABC$是等腰三角形，$AB=AC$，点$D$在边$BC$运动(与$B$，$C$不重合)，点$E$，$F$分别在边$AB$，$AC$上，且$DB=DE$，$DC=DF$，连接$BF$，$CE$交于点$G$。
(1)求证：$BF=CE$。
(2)若$\angle BAC=50^{\circ}$，随着点$D$的运动，$\angle EGF$的大小是否为定值？如果是定值，请求出$\angle EGF$的度数；如果不是定值，请说明理由。

(1)见证明；(2)是定值，115°。

(1)证明：
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB（等腰对等角）。
∵DB=DE，∴∠DBE=∠DEB（等边对等角）；同理DC=DF，∴∠DCF=∠DFC。
∵∠DBE=∠ABC，∠DCF=∠ACB，且∠ABC=∠ACB，∴∠DEB=∠DFC。
∴∠AED=180°-∠DEB=180°-∠DFC=∠AFD（邻补角定义）。
在△AED和△AFD中，∠EAD=∠FAD（公共角），∠AED=∠AFD，AD=AD（公共边），
∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE=AF。
∵AB=AC，∴AB-AE=AC-AF，即BE=CF。
在△BEC和△CFB中，BE=CF，∠EBC=∠FCB，BC=CB（公共边），
∴△BEC≌△CFB（SAS），∴BF=CE。
(2)∠EGF为定值，115°。
∵∠BAC=50°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=(180°-50°)/2=65°。
由(1)△BEC≌△CFB，得∠BCE=∠CBF。设∠BCE=∠CBF=γ。
在△GEC中，∠BGC=∠GEC+∠GCE（外角定理），
∠GEC=180°-∠EBC-∠BCE=180°-65°-γ，∠GCE=γ，
∴∠BGC=180°-65°-γ+γ=115°。
∵∠EGF=∠BGC（对顶角相等），∴∠EGF=115°。