13. 如图,点$O$在$\bigtriangleup ABC$内,且到三边的距离相等.若$\angle BOC = 3\angle A$,则$\angle A$=.

36°

∵点O到△ABC三边距离相等，∴O是△ABC的内心，即OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB。设∠A=α，则∠ABC+∠ACB=180°-α，∴∠OBC+∠OCB=1/2(∠ABC+∠ACB)=90°-α/2。在△BOC中，∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-(90°-α/2)=90°+α/2。∵∠BOC=3∠A，∴90°+α/2=3α，解得α=36°，即∠A=36°。

14. 如图,在$\bigtriangleup ABC$中,$\angle BAC = 45^{\circ}$,高$AD$,$CE$相交于点$H$.若$AB$=19,$CE$=12,则$CH$=.

5

∵CE⊥AB，∠BAC=45°，∴△AEC为等腰直角三角形，∴AE=CE=12。
∵AB=19，∴EB=AB - AE=19 - 12=7。
∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠AEH=∠CEB=90°，∠EAH+∠B=90°，∠ECB+∠B=90°，∴∠EAH=∠ECB。
在△AEH和△CEB中，∠AEH=∠CEB，AE=CE，∠EAH=∠ECB，∴△AEH≌△CEB（ASA），∴EH=EB=7。
∵CE=12，∴CH=CE - EH=12 - 7=5。

15. 如图,在平面直角坐标系中,$C(5,5)$,点$B$,$A$分别在$x$轴正半轴和$y$轴正半轴上,且$\angle ACB = 90^{\circ}$.若$OA = \frac{7}{2}$,则$OB$=.

$\frac{13}{2}$

设点$B(m,0)$，$A(0,\frac{7}{2})$，$C(5,5)$。
∵$\angle ACB=90°$，∴$AC^2+BC^2=AB^2$。
由两点间距离公式：
$AC^2=(5-0)^2+(5-\frac{7}{2})^2=5^2+(\frac{3}{2})^2=25+\frac{9}{4}=\frac{109}{4}$；
$BC^2=(5-m)^2+(5-0)^2=(m-5)^2+25=m^2-10m+50$；
$AB^2=(m-0)^2+(0-\frac{7}{2})^2=m^2+\frac{49}{4}$。
代入$AC^2+BC^2=AB^2$得：
$\frac{109}{4}+m^2-10m+50=m^2+\frac{49}{4}$，
化简得：$-10m+\frac{309}{4}=\frac{49}{4}$，解得$m=\frac{13}{2}$。

16. (6分)如图,在$\bigtriangleup ABC$中,点$D$是$AC$上的一点,$AD$=$AB$,请利用尺规在$BC$上求作一点$E$,使得$D$,$E$之间的距离等于$BE$的长.(不写作法,保留作图痕迹)

17. (6分)如图,点$A$,$B$,$C$在同一条直线上,点$E$在$BD$上,且$\bigtriangleup ABD \cong \bigtriangleup EBC$.已知$AB$=3 cm,$BC$=5 cm.
(1)求$DE$的长;
(2)判断$AC$与$BD$的位置关系,并说明理由.

(1)2cm；(2)AC⊥BD。

(1)∵△ABD≌△EBC，∴AB=EB，BD=BC（全等三角形对应边相等）。
∵AB=3cm，BC=5cm，∴EB=3cm，BD=5cm。
∵点E在BD上，∴DE=BD-BE=5-3=2cm。
(2)AC⊥BD。理由如下：
∵△ABD≌△EBC，∴∠ABD=∠EBC（全等三角形对应角相等）。
∵点A，B，C在同一条直线上，∴∠ABC=180°，即∠ABD+∠EBC=180°。
∴∠ABD=∠EBC=90°，∴BD⊥AC（垂直定义）。