1. 如图,AC 是▱ABCD 的对角线,G 是 AD 延长线上的一点,BG 交 AC 于点 F,交 CD 于点 E. 求证:$\frac{BF}{FE}=\frac{FG}{BF}$.

$\frac{BF}{FE}=\frac{FG}{BF}$

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AD//BC（平行四边形对边平行）。
∵AB//CD，∴$\frac{BF}{FE}=\frac{AF}{FC}$（平行线分线段成比例定理）。
∵AD//BC，即AG//BC，∴$\frac{FG}{BF}=\frac{AF}{FC}$（平行线分线段成比例定理）。
∴$\frac{BF}{FE}=\frac{FG}{BF}$。

2. 如图,AD$//$BC,AB 交 CD 于点 E,F 是 AD 上的一点,连接 FE 并延长交 BC 于点 G. 求证:$\frac{AF}{DF}=\frac{BG}{CG}$.

结论已证明。

由于 $AD // BC$，根据平行线性质，得到：
$△ AEF ∼ △ BEG$ 和 $△ DEF ∼ △ CEG$。
根据相似三角形的性质，有：
$\frac{AF}{BG} = \frac{EF}{EG}$，
$\frac{DF}{CG} = \frac{EF}{EG}$。
由上述两个比例关系，可以得到：
$\frac{AF}{BG} = \frac{DF}{CG}$。
交叉相乘，得到：
$AF · CG = DF · BG$。
将上述等式两边同时除以 $DF · CG$，得到：
$\frac{AF}{DF} = \frac{BG}{CG}$。
所以，证明了 $\frac{AF}{DF} = \frac{BG}{CG}$。

3. 如图,在四边形 ABCD 中,AD$//$BC,$∠ ABC=90^{\circ}$,AD = CD,O 是对角线 AC 的中点,连接 BO 并延长交边 CD 于点 E.
(1)求证:$△ DAC∽△ OBC$;
(2)求证:$\frac{DC}{AC}=\frac{OE}{EC}$.

(1)证明见解析；(2)证明见解析。

(1)∵AD//BC，∴∠DAC=∠BCA。∵O是AC中点，∠ABC=90°，∴BO=AO=OC，∴∠OBC=∠BCA，∴∠DAC=∠OBC。∵AD=CD，∴∠DAC=∠DCA，∴∠DCA=∠BCA=∠OBC。在△DAC和△OBC中，∠DAC=∠OCB，∠DCA=∠OBC，∴△DAC∽△OBC。
(2)由(1)△DAC∽△OBC，得DC/BC=AC/OC=2，∴DC=2BC，AD=2OB。∵AD=CD，∴AD=2BC。过E作EF//AD交AC于F，∵AD//BC，∴EF//AD//BC，∠EFC=∠DAC=∠DCA，∴EF=EC。△CFE∽△CAD，得EF/AD=CF/AC；△OEF∽△OBC，得EF/BC=OF/OC。设OC=AO=m，CF=x，则OF=m-x，AC=2m。EF=AD·x/(2m)=BC·(m-x)/m，又AD=2BC，代入得2BC·x/(2m)=BC·(m-x)/m，解得x=m/2，∴CF=OF=m/2。EF=AD·(m/2)/(2m)=AD/4=DC/4，即EC=DC/4。OE/OB=EF/BC=1/2，OB=AC/2，∴OE=AC/4，∴OE/EC=(AC/4)/(DC/4)=AC/DC。∵AD=AC（由AD=2BC，AC²=AB²+BC²=2AD·BC=AC·AD，得AC=AD），AD=DC，∴DC=AC，∴DC/AC=OE/EC。

4. 如图,在 Rt$△ ABC$中,$∠ BAC=90^{\circ}$,AD$⊥$BC 于点 D,E 为 AC 的中点,过 D,E 两点作直线交 AB 的延长线于点 F.
(1)求证:$△ CBA∽△ ABD$;
(2)求证:$\frac{AB}{AC}=\frac{DF}{AF}$.

(1) 证明见解析；
(2) 证明见解析。

(1) 由于 $AD ⊥ BC$，
所以$∠ ADB = 90°$，
因为$∠ BAC = 90°$，
则$∠ ADB= ∠ BAC$，
由于$∠ B$为公共角，
因此$△ CBA ∼ △ ABD$。
(2) 右题图知：
$ED$为直角$△ ADC$斜边AC上的中线，
所以$ED = EC$，
因此$∠ C = ∠ EDC$，
由于$∠ FDB = ∠ EDC$，
所以$∠ FDB = ∠ C$，
因为$△ CBA ∼ △ ABD$，
所以$∠ C = ∠ BAD$，
因此$∠ FDB = ∠ BAD$，
由于$∠ F$为公共角，
则$△ FBD ∼ △ FAD$，
根据相似三角形的性质：
$\frac{FD}{FA} = \frac{DB}{AD}$，
由于$△ CBA ∼ △ ABD$，
所以$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{AD}$，
因此$\frac{FD}{FA} = \frac{AB}{AC}$，
即：$\frac{AB}{AC} = \frac{DF}{AF}$。