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24. (本小题满分8分)
如图,已知反比例函数$y_{1}= \frac{k_{1}}{x}(k_{1}＞0)与一次函数y_{2}= k_{2}x + 1(k_{2}\neq0)相交于A$,$B$两点,$AC\perp x轴于点C$. 若$\triangle OAC$的面积为1,且$\tan\angle AOC = 2$.
(1) 求反比例函数与一次函数的表达式.
(2) 请直接写出点$B$的坐标,并指出当$x$为何值时,反比例函数$y_{1}的值大于一次函数y_{2}$的值.
如图,已知反比例函数$y_{1}= \frac{k_{1}}{x}(k_{1}＞0)与一次函数y_{2}= k_{2}x + 1(k_{2}\neq0)相交于A$,$B$两点,$AC\perp x轴于点C$. 若$\triangle OAC$的面积为1,且$\tan\angle AOC = 2$.
(1) 求反比例函数与一次函数的表达式.
(2) 请直接写出点$B$的坐标,并指出当$x$为何值时,反比例函数$y_{1}的值大于一次函数y_{2}$的值.
(1)在$Rt\triangle OAC$中,设$OC=m$.$\because \tan\angle AOC=\frac{AC}{OC}=2$,$\therefore AC=2OC=2m$.$\because S_{\triangle OAC}=\frac{1}{2}× OC× AC=\frac{1}{2}× m×2m=1$,$\therefore m^{2}=1$,$\therefore m_{1}=1$,$m_{2}=-1$(舍去),$\therefore$点A的坐标为$(1,2)$.把点A的坐标代入$y_{1}=\frac{k_{1}}{x}$中,得$k_{1}=2$,$\therefore$反比例函数的表达式为$y_{1}=\frac{2}{x}$.把点A的坐标代入$y_{2}=k_{2}x+1$中,得$k_{2}+1=2$,即$k_{2}=1$,$\therefore$一次函数的表达式为$y_{2}=x+1$.
(2)点B的坐标为$(-2,-1)$.当$0＜ x＜1$或$x＜-2$时,$y_{1}＞y_{2}$.
(2)点B的坐标为$(-2,-1)$.当$0＜ x＜1$或$x＜-2$时,$y_{1}＞y_{2}$.
答案
(1)在$Rt\triangle OAC$中,设$OC=m$.$\because \tan\angle AOC=\frac{AC}{OC}=2$,$\therefore AC=2OC=2m$.$\because S_{\triangle OAC}=\frac{1}{2}× OC× AC=\frac{1}{2}× m×2m=1$,$\therefore m^{2}=1$,$\therefore m_{1}=1$,$m_{2}=-1$(舍去),$\therefore$点A的坐标为$(1,2)$.把点A的坐标代入$y_{1}=\frac{k_{1}}{x}$中,得$k_{1}=2$,$\therefore$反比例函数的表达式为$y_{1}=\frac{2}{x}$.把点A的坐标代入$y_{2}=k_{2}x+1$中,得$k_{2}+1=2$,即$k_{2}=1$,$\therefore$一次函数的表达式为$y_{2}=x+1$.
(2)点B的坐标为$(-2,-1)$.当$0＜ x＜1$或$x＜-2$时,$y_{1}＞y_{2}$.
