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3. 在平面直角坐标系中描出点 $O(0,0)$,$A(3,4)$,$B(3,0)$,$C(0,-6)$,$D(-8,-6)$,在线段 $OB,OA,AB,OC,OD,CD$ 中,共有几组是成比例线段？试求之。
答案
3.解:描点略.三组.
$\because OB=3,AB=4,$
$\therefore OA=5.$
$\because OC=6,CD=8,$
$\therefore OD=10.$
$\therefore \frac{OB}{OC}=\frac{AB}{CD},\frac{OB}{OC}=\frac{OA}{OD},\frac{OA}{OD}=\frac{AB}{CD}.$
$\because OB=3,AB=4,$
$\therefore OA=5.$
$\because OC=6,CD=8,$
$\therefore OD=10.$
$\therefore \frac{OB}{OC}=\frac{AB}{CD},\frac{OB}{OC}=\frac{OA}{OD},\frac{OA}{OD}=\frac{AB}{CD}.$
4. 已知 $a:b:c = 2:3:4$,且 $2a + 3b - 2c = 10$,求 $a,b,c$ 的值。
答案
4.$a=4,b=6,c=8$
解析
设$a = 2k$，$b = 3k$，$c = 4k$（$k$为常数）。
将$a = 2k$，$b = 3k$，$c = 4k$代入$2a + 3b - 2c = 10$，得：
$2×2k + 3×3k - 2×4k = 10$
$4k + 9k - 8k = 10$
$5k = 10$
$k = 2$
则$a = 2k = 2×2 = 4$，$b = 3k = 3×2 = 6$，$c = 4k = 4×2 = 8$。
$a = 4$，$b = 6$，$c = 8$
将$a = 2k$，$b = 3k$，$c = 4k$代入$2a + 3b - 2c = 10$，得：
$2×2k + 3×3k - 2×4k = 10$
$4k + 9k - 8k = 10$
$5k = 10$
$k = 2$
则$a = 2k = 2×2 = 4$，$b = 3k = 3×2 = 6$，$c = 4k = 4×2 = 8$。
$a = 4$，$b = 6$，$c = 8$
5. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle B = 90^{\circ},\frac{BC}{AB}= \frac{1}{2}$。
(1) 按要求画图：以点 $C$ 为圆心,$BC$ 为半径画弧,交 $AC$ 于点 $D$；以点 $A$ 为圆心,$AD$ 为半径画弧,交 $AB$ 于点 $E$。
(2) 说明 $AE$ 是 $AB$ 和 $BE$ 的比例中项。
(1) 按要求画图：以点 $C$ 为圆心,$BC$ 为半径画弧,交 $AC$ 于点 $D$；以点 $A$ 为圆心,$AD$ 为半径画弧,交 $AB$ 于点 $E$。
(2) 说明 $AE$ 是 $AB$ 和 $BE$ 的比例中项。
答案
5.解:
(1)略
(2)设$BC=1$,则$AB=2,AE=\sqrt{5}-1,$
$\therefore BE=3-\sqrt{5}.$
$\therefore \frac{3-\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2},$
$\therefore AE$是$AB$和$BE$的比例中项.
(1)略
(2)设$BC=1$,则$AB=2,AE=\sqrt{5}-1,$
$\therefore BE=3-\sqrt{5}.$
$\therefore \frac{3-\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2},$
$\therefore AE$是$AB$和$BE$的比例中项.
