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1. 一个二次函数的图象经过 $ A(0,0) $，$ B(-1,-11) $，$ C(1,9) $ 三点，则这个二次函数的解析式为(
A.$ y = -10x^{2}+x $
B.$ y = -10x^{2}+19x $
C.$ y = 10x^{2}+x $
D.$ y = -x^{2}+10x $
D
)A.$ y = -10x^{2}+x $
B.$ y = -10x^{2}+19x $
C.$ y = 10x^{2}+x $
D.$ y = -x^{2}+10x $
答案
1.D
解析
设二次函数的解析式为$y = ax^{2}+bx + c$。
因为函数图象经过$A(0,0)$，所以将$x = 0$，$y = 0$代入解析式得：$0 = a×0^{2}+b×0 + c$，解得$c = 0$，此时解析式为$y = ax^{2}+bx$。
又因为函数图象经过$B(-1,-11)$，将$x=-1$，$y = -11$代入$y = ax^{2}+bx$得：$-11=a×(-1)^{2}+b×(-1)$，即$a - b=-11$。
函数图象还经过$C(1,9)$，将$x = 1$，$y = 9$代入$y = ax^{2}+bx$得：$9=a×1^{2}+b×1$，即$a + b=9$。
联立方程组$\begin{cases}a - b=-11\\a + b=9\end{cases}$，两式相加得$2a=-2$，解得$a=-1$。
将$a=-1$代入$a + b=9$，得$-1 + b=9$，解得$b = 10$。
所以二次函数的解析式为$y=-x^{2}+10x$。
D
因为函数图象经过$A(0,0)$，所以将$x = 0$，$y = 0$代入解析式得：$0 = a×0^{2}+b×0 + c$，解得$c = 0$，此时解析式为$y = ax^{2}+bx$。
又因为函数图象经过$B(-1,-11)$，将$x=-1$，$y = -11$代入$y = ax^{2}+bx$得：$-11=a×(-1)^{2}+b×(-1)$，即$a - b=-11$。
函数图象还经过$C(1,9)$，将$x = 1$，$y = 9$代入$y = ax^{2}+bx$得：$9=a×1^{2}+b×1$，即$a + b=9$。
联立方程组$\begin{cases}a - b=-11\\a + b=9\end{cases}$，两式相加得$2a=-2$，解得$a=-1$。
将$a=-1$代入$a + b=9$，得$-1 + b=9$，解得$b = 10$。
所以二次函数的解析式为$y=-x^{2}+10x$。
D
2. 某中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为 $ 3m $，此时距喷水管的水平距离为 $ \frac{1}{2}m $，在如图 22.1.4 - 7 所示的平面直角坐标系中，这个喷泉形成的抛物线对应的函数解析式是(
$ \begin{array}{l}A. y = - (x - \frac{1}{2})^{2}+3\\ B. y = - 3(x + \frac{1}{2})^{2}+3\\ C. y = - 12(x - \frac{1}{2})^{2}+3\\ D. y = - 12(x + \frac{1}{2})^{2}+3\end{array} $
C
)$ \begin{array}{l}A. y = - (x - \frac{1}{2})^{2}+3\\ B. y = - 3(x + \frac{1}{2})^{2}+3\\ C. y = - 12(x - \frac{1}{2})^{2}+3\\ D. y = - 12(x + \frac{1}{2})^{2}+3\end{array} $
答案
2.C
解析
解：由题意知抛物线顶点坐标为$(\frac{1}{2}, 3)$，设抛物线解析式为$y = a(x - \frac{1}{2})^{2} + 3$。
因为抛物线过原点$(0, 0)$，代入得：$0 = a(0 - \frac{1}{2})^{2} + 3$，即$0 = \frac{1}{4}a + 3$，解得$a = -12$。
所以函数解析式为$y = -12(x - \frac{1}{2})^{2} + 3$。
答案：C
因为抛物线过原点$(0, 0)$，代入得：$0 = a(0 - \frac{1}{2})^{2} + 3$，即$0 = \frac{1}{4}a + 3$，解得$a = -12$。
所以函数解析式为$y = -12(x - \frac{1}{2})^{2} + 3$。
答案：C
3. 一抛物线的对称轴为 $ y $ 轴，且经过点 $ A(2,3) $，$ B(-1,6) $，$ C(-3,m) $，则 $ m = $
-2
。答案
3.-2
解析
设抛物线的解析式为$y = ax^2 + c$（$a \neq 0$）。
因为抛物线经过点$A(2,3)$，所以$3 = a × 2^2 + c$，即$4a + c = 3$。
因为抛物线经过点$B(-1,6)$，所以$6 = a × (-1)^2 + c$，即$a + c = 6$。
联立方程组$\begin{cases}4a + c = 3 \\ a + c = 6\end{cases}$，用第一个方程减去第二个方程得：$3a = -3$，解得$a = -1$。
将$a = -1$代入$a + c = 6$，得$-1 + c = 6$，解得$c = 7$。
所以抛物线的解析式为$y = -x^2 + 7$。
因为点$C(-3,m)$在抛物线上，所以$m = -(-3)^2 + 7 = -9 + 7 = -2$。
$-2$
因为抛物线经过点$A(2,3)$，所以$3 = a × 2^2 + c$，即$4a + c = 3$。
因为抛物线经过点$B(-1,6)$，所以$6 = a × (-1)^2 + c$，即$a + c = 6$。
联立方程组$\begin{cases}4a + c = 3 \\ a + c = 6\end{cases}$，用第一个方程减去第二个方程得：$3a = -3$，解得$a = -1$。
将$a = -1$代入$a + c = 6$，得$-1 + c = 6$，解得$c = 7$。
所以抛物线的解析式为$y = -x^2 + 7$。
因为点$C(-3,m)$在抛物线上，所以$m = -(-3)^2 + 7 = -9 + 7 = -2$。
$-2$
4. 试写出一个开口向上，对称轴为直线 $ x = -2 $，且与 $ y $ 轴的交点坐标为 $ (0,3) $ 的抛物线对应的函数解析式：
y=x²+4x+3
。答案
4.y=x²+4x+3(答案不唯一)
5. 抛物线 $ y = ax^{2}+bx + c $ 与 $ x $ 轴的交点为 $ (-1,0) $，$ (3,0) $，其形状与抛物线 $ y = -2x^{2} $ 相同但开口相反，则该抛物线对应的函数解析式为
y=2x²-4x-6
。答案
5.y=2x²-4x-6
解析
因为抛物线与$x$轴交于$(-1,0)$，$(3,0)$，所以设抛物线解析式为$y=a(x+1)(x-3)$。
又因为其形状与抛物线$y=-2x^{2}$相同但开口相反，抛物线形状由二次项系数的绝对值决定，开口方向由二次项系数的符号决定，所以$a = 2$。
则$y=2(x+1)(x-3)$，展开得：
$\begin{aligned}y&=2(x^{2}-3x+x-3)\\&=2(x^{2}-2x-3)\\&=2x^{2}-4x-6\end{aligned}$
$y=2x^{2}-4x-6$
又因为其形状与抛物线$y=-2x^{2}$相同但开口相反，抛物线形状由二次项系数的绝对值决定，开口方向由二次项系数的符号决定，所以$a = 2$。
则$y=2(x+1)(x-3)$，展开得：
$\begin{aligned}y&=2(x^{2}-3x+x-3)\\&=2(x^{2}-2x-3)\\&=2x^{2}-4x-6\end{aligned}$
$y=2x^{2}-4x-6$
6. 已知二次函数图象的对称轴为直线 $ x = 2 $，且在 $ x $ 轴上截得的线段长为 $ 6 $，与 $ y $ 轴的交点为 $ (0,-2) $，则该二次函数的解析式为
y=2/5x²-8/5x-2
。答案
6.y=2/5x²-8/5x-2
解析
设二次函数的解析式为$y = ax^2 + bx + c(a \neq 0)$。
因为二次函数图象的对称轴为直线$x = 2$，所以$-\frac{b}{2a}=2$，即$b=-4a$。
因为二次函数在$x$轴上截得的线段长为$6$，对称轴为$x = 2$，所以与$x$轴的两个交点坐标分别为$(2 - 3,0)$和$(2 + 3,0)$，即$(-1,0)$和$(5,0)$。
把$(-1,0)$代入解析式得：$a(-1)^2 + b(-1) + c = 0$，即$a - b + c = 0$。
把$(5,0)$代入解析式得：$a(5)^2 + b(5) + c = 0$，即$25a + 5b + c = 0$。
又因为函数与$y$轴的交点为$(0,-2)$，所以$c = -2$。
将$b=-4a$，$c = -2$代入$a - b + c = 0$得：$a - (-4a) + (-2)=0$，$5a - 2 = 0$，解得$a=\frac{2}{5}$。
则$b=-4a=-4×\frac{2}{5}=-\frac{8}{5}$。
所以二次函数的解析式为$y=\frac{2}{5}x^2 - \frac{8}{5}x - 2$。
因为二次函数图象的对称轴为直线$x = 2$，所以$-\frac{b}{2a}=2$，即$b=-4a$。
因为二次函数在$x$轴上截得的线段长为$6$，对称轴为$x = 2$，所以与$x$轴的两个交点坐标分别为$(2 - 3,0)$和$(2 + 3,0)$，即$(-1,0)$和$(5,0)$。
把$(-1,0)$代入解析式得：$a(-1)^2 + b(-1) + c = 0$，即$a - b + c = 0$。
把$(5,0)$代入解析式得：$a(5)^2 + b(5) + c = 0$，即$25a + 5b + c = 0$。
又因为函数与$y$轴的交点为$(0,-2)$，所以$c = -2$。
将$b=-4a$，$c = -2$代入$a - b + c = 0$得：$a - (-4a) + (-2)=0$，$5a - 2 = 0$，解得$a=\frac{2}{5}$。
则$b=-4a=-4×\frac{2}{5}=-\frac{8}{5}$。
所以二次函数的解析式为$y=\frac{2}{5}x^2 - \frac{8}{5}x - 2$。
7. 已知抛物线 $ y = ax^{2}+bx + c $ 经过 $ A,B,C $ 三点，当 $ x \geq 0 $ 时，其图象如图 22.1.4 - 8 所示。求抛物线对应的函数解析式，并写出抛物线的顶点坐标。
答案
7.解:抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{2}x²+\frac{3}{2}x+2$.抛物线的顶点坐标为$(\frac{3}{2},\frac{25}{8}).$
解析
解：由图可知，抛物线经过点$A(0,2)$，$B(4,0)$，$C(5,-3)$。
将$A(0,2)$代入$y = ax^{2}+bx + c$，得$c=2$。
将$B(4,0)$，$c=2$代入，得$16a + 4b + 2=0$，即$8a + 2b=-1$ ①。
将$C(5,-3)$，$c=2$代入，得$25a + 5b + 2=-3$，即$25a + 5b=-5$，化简为$5a + b=-1$ ②。
由②得$b=-1 - 5a$，代入①：$8a + 2(-1 - 5a)=-1$，解得$a=-\frac{1}{2}$。
将$a=-\frac{1}{2}$代入②，得$5×(-\frac{1}{2}) + b=-1$，解得$b=\frac{3}{2}$。
所以抛物线解析式为$y=-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{3}{2}x + 2$。
对于$y=-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{3}{2}x + 2$，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{\frac{3}{2}}{2×(-\frac{1}{2})}=\frac{3}{2}$。
当$x=\frac{3}{2}$时，$y=-\frac{1}{2}×(\frac{3}{2})^{2}+\frac{3}{2}×\frac{3}{2}+2=-\frac{9}{8}+\frac{9}{4}+2=\frac{25}{8}$。
抛物线的顶点坐标为$(\frac{3}{2},\frac{25}{8})$。
抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{3}{2}x + 2$，顶点坐标为$(\frac{3}{2},\frac{25}{8})$。
将$A(0,2)$代入$y = ax^{2}+bx + c$，得$c=2$。
将$B(4,0)$，$c=2$代入，得$16a + 4b + 2=0$，即$8a + 2b=-1$ ①。
将$C(5,-3)$，$c=2$代入，得$25a + 5b + 2=-3$，即$25a + 5b=-5$，化简为$5a + b=-1$ ②。
由②得$b=-1 - 5a$，代入①：$8a + 2(-1 - 5a)=-1$，解得$a=-\frac{1}{2}$。
将$a=-\frac{1}{2}$代入②，得$5×(-\frac{1}{2}) + b=-1$，解得$b=\frac{3}{2}$。
所以抛物线解析式为$y=-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{3}{2}x + 2$。
对于$y=-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{3}{2}x + 2$，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{\frac{3}{2}}{2×(-\frac{1}{2})}=\frac{3}{2}$。
当$x=\frac{3}{2}$时，$y=-\frac{1}{2}×(\frac{3}{2})^{2}+\frac{3}{2}×\frac{3}{2}+2=-\frac{9}{8}+\frac{9}{4}+2=\frac{25}{8}$。
抛物线的顶点坐标为$(\frac{3}{2},\frac{25}{8})$。
抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{3}{2}x + 2$，顶点坐标为$(\frac{3}{2},\frac{25}{8})$。
8. 在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移 $ 3 $ 个单位长度，再作关于 $ x $ 轴的对称图象，得到抛物线 $ y = x^{2}+5x + 6 $，则原抛物线对应的函数解析式为(
A.$ y = - (x + \frac{5}{2})^{2}- \frac{11}{4} $
B.$ y = - (x - \frac{5}{2})^{2}- \frac{11}{4} $
C.$ y = - (x - \frac{5}{2})^{2}- \frac{1}{4} $
D.$ y = - (x + \frac{5}{2})^{2}+ \frac{1}{4} $
A
)A.$ y = - (x + \frac{5}{2})^{2}- \frac{11}{4} $
B.$ y = - (x - \frac{5}{2})^{2}- \frac{11}{4} $
C.$ y = - (x - \frac{5}{2})^{2}- \frac{1}{4} $
D.$ y = - (x + \frac{5}{2})^{2}+ \frac{1}{4} $
答案
8.A
解析
设原抛物线对应的函数解析式为$y = f(x)$。
将原抛物线向上平移$3$个单位长度，得到的抛物线解析式为$y = f(x) + 3$。
再作关于$x$轴的对称图象，得到的抛物线解析式为$y = -[f(x) + 3]$。
已知最终得到的抛物线为$y = x^2 + 5x + 6$，所以有：
$-[f(x) + 3] = x^2 + 5x + 6$
$f(x) + 3 = -x^2 - 5x - 6$
$f(x) = -x^2 - 5x - 6 - 3 = -x^2 - 5x - 9$
将$f(x) = -x^2 - 5x - 9$化为顶点式：
$\begin{aligned}f(x)&=-(x^2 + 5x) - 9\\&=-\left(x^2 + 5x + \frac{25}{4} - \frac{25}{4}\right) - 9\\&=-\left[\left(x + \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{25}{4}\right] - 9\\&=-\left(x + \frac{5}{2}\right)^2 + \frac{25}{4} - 9\\&=-\left(x + \frac{5}{2}\right)^2 + \frac{25}{4} - \frac{36}{4}\\&=-\left(x + \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{11}{4}\end{aligned}$
A
将原抛物线向上平移$3$个单位长度，得到的抛物线解析式为$y = f(x) + 3$。
再作关于$x$轴的对称图象，得到的抛物线解析式为$y = -[f(x) + 3]$。
已知最终得到的抛物线为$y = x^2 + 5x + 6$，所以有：
$-[f(x) + 3] = x^2 + 5x + 6$
$f(x) + 3 = -x^2 - 5x - 6$
$f(x) = -x^2 - 5x - 6 - 3 = -x^2 - 5x - 9$
将$f(x) = -x^2 - 5x - 9$化为顶点式：
$\begin{aligned}f(x)&=-(x^2 + 5x) - 9\\&=-\left(x^2 + 5x + \frac{25}{4} - \frac{25}{4}\right) - 9\\&=-\left[\left(x + \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{25}{4}\right] - 9\\&=-\left(x + \frac{5}{2}\right)^2 + \frac{25}{4} - 9\\&=-\left(x + \frac{5}{2}\right)^2 + \frac{25}{4} - \frac{36}{4}\\&=-\left(x + \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{11}{4}\end{aligned}$
A
9. 某同学在用描点法画二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c $ 的图象时，列出了下面的表格：
由于粗心，他算错了其中一个 $ y $ 值，则这个错误的数值是(
A.$ -11 $
B.$ -2 $
C.$ 1 $
D.$ -5 $
由于粗心，他算错了其中一个 $ y $ 值，则这个错误的数值是(
D
)A.$ -11 $
B.$ -2 $
C.$ 1 $
D.$ -5 $
答案
9.D
解析
解：设二次函数为$y = ax^2+bx + c$。
当$x=-1$时，$y=-2$，得$a - b + c=-2$；
当$x=0$时，$y=1$，得$c=1$；
当$x=1$时，$y=-2$，得$a + b + c=-2$。
联立$\begin{cases}a - b + 1=-2\\a + b + 1=-2\end{cases}$，解得$a=-3$，$b=0$。
函数解析式为$y=-3x^2 + 1$。
当$x=-2$时，$y=-3×(-2)^2+1=-11$；
当$x=2$时，$y=-3×2^2 + 1=-11\neq-5$。
错误的数值是$-5$。
D
当$x=-1$时，$y=-2$，得$a - b + c=-2$；
当$x=0$时，$y=1$，得$c=1$；
当$x=1$时，$y=-2$，得$a + b + c=-2$。
联立$\begin{cases}a - b + 1=-2\\a + b + 1=-2\end{cases}$，解得$a=-3$，$b=0$。
函数解析式为$y=-3x^2 + 1$。
当$x=-2$时，$y=-3×(-2)^2+1=-11$；
当$x=2$时，$y=-3×2^2 + 1=-11\neq-5$。
错误的数值是$-5$。
D
