如图,小黄狗和小白兔赛跑。它们分别从$A$、$B$处起跑,沿半圆跑到$D$、$C$,结果小白兔获胜。

1. 小黄狗跑过半圆路线的半径为( )米,所跑路程为( )米。
2. 小白兔跑过半圆路线的半径为( )米,所跑路程为( )米。
3. 它们跑过的路程相差( )米。
4. 要使比赛公平,小黄狗的起跑线应该向( )移动( )米。

1. 小黄狗跑过半圆路线的半径为$9 + 3 = 12$米，所跑路程为$\frac{1}{2}×2×\pi×12 = 12\pi\approx 12×3.14 = 37.68$米。
2. 小白兔跑过半圆路线的半径为$9$米，所跑路程为$\frac{1}{2}×2×\pi×9 = 9\pi\approx 9×3.14 = 28.26$米。
3. 它们跑过的路程相差$37.68 - 28.26 = 9.42$米。
4. 要使比赛公平，小黄狗的起跑线应该向前移动$9.42$米。
答案依次为：1. $12$，$37.68$；2. $9$，$28.26$；3. $9.42$；4. 前，$9.42$。

二、如图,阴影部分是一个跑道(单位：米)

1. 跑道外圈的长度是多少米?
2. 跑道内圈的长是多少米?
3. 跑道面积是多少平方米?

1. 外圈长度：2×100 + 3.14×100 = 200 + 314 = 514(米)
2. 内圈长度：2×100 + 3.14×70 = 200 + 219.8 = 419.8(米)
3. 跑道面积：3.14×[(100÷2)² - (70÷2)²] + 100×(100 - 70) = 3.14×(2500 - 1225) + 3000 = 4003.5 + 3000 = 7003.5(平方米)

1. 刚刚和强强比谁跑得快。刚刚在外圈,强强在内圈,他们要跑完一圈,冲刺同一终点。为了比赛公平,刚刚的起跑线要比强强提前多少米?

1. 内圈弯道半径$r = 36$米，跑道宽度$d = 2.5$米。
2. 内外圈弯道半径差$\Delta r = d = 2.5$米。
3. 起跑线提前距离 = 外圈弯道周长 - 内圈弯道周长 = $2\pi(R - r) = 2\pi\Delta r$。
4. 代入数据：$2×3.14×2.5 = 15.7$米。
15.7米

2. 射击比赛的靶子是由$10$个同心圆组成的(如图所示)。已知这个靶上相邻的两个同心圆半径之差等于最里面小圆的半径。最里面的小圆叫作$10$环,最外面的圆环叫作$1$环,你能很快地算出$10环面积是1$环面积的几分之几吗?

设最里面10环的半径为$ r $。
1. 各同心圆半径：相邻两圆半径差为$ r $，故从内到外第$ n $个圆半径为$ nr $。10个同心圆中，最外层（第10个）圆半径为$ 10r $，第9个圆半径为$ 9r $。
2. 10环面积：10环为半径$ r $的圆，面积$ S_{10} = \pi r^2 $。
3. 1环面积：1环为最外层圆环，外圆半径$ 10r $，内圆半径$ 9r $，面积$ S_{1} = \pi (10r)^2 - \pi (9r)^2 = 100\pi r^2 - 81\pi r^2 = 19\pi r^2 $。
4. 面积比：$ \frac{S_{10}}{S_{1}} = \frac{\pi r^2}{19\pi r^2} = \frac{1}{19} $。
答：$ \frac{1}{19} $。

3. 实验小学运动场上的跑道长$400$米,两端弯道呈半圆形,跑道宽是$1.25$米,一共有$6$条跑道。如果进行$400$米赛跑,从第二道起各条跑道的起跑线应该依次前移多少米?

答题区：
两端半圆合为一个圆，其半径设为 $r$，则第二道半径 $R_2=r + 1.25$，第三道半径 $R_3=r + 1.25×2$，以此类推，第 $n$ 道半径 $R_n=r + 1.25×(n - 1)$。
圆的周长公式 $C = 2\pi R$，$400$米赛跑要跑一圈，两个直道长度相同，各跑道长度差就在圆的周长上。
第二道与第一道长度差：$2\pi R_2-2\pi r=2\pi×(r + 1.25)-2\pi r = 2\pi×1.25\approx7.85$（米）
第三道与第二道长度差：$2\pi R_3 - 2\pi R_2=2\pi×(r + 1.25×2)-2\pi×(r + 1.25)=2\pi×1.25\approx7.85$（米）
同理，从第二道起各条跑道起跑线应依次前移 $7.85$ 米。
答：从第二道起各条跑道的起跑线应该依次前移$7.85$米。