例3 如图3-6所示,将边长为1 cm的等边三角形$ABC沿直线l$向右翻动(不滑动),点$B$从开始到结束,所经过路径的长度为().
A.$\frac{3}{2}\pi\ cm$
B.$(2+\frac{2}{3}\pi)\ cm$
C.$\frac{4}{3}\pi\ cm$
D.3cm

解：
∵△ABC是等边三角形，边长为1cm，
∴第一次翻动时，点B绕点C旋转，旋转角为180°-60°=120°，半径为BC=1cm，
弧长为$\frac{120\pi×1}{180}=\frac{2}{3}\pi$cm；
第二次翻动时，点B绕点A'旋转，旋转角为120°，半径为A'B=1cm，
弧长为$\frac{120\pi×1}{180}=\frac{2}{3}\pi$cm；
点B所经过路径的长度为$\frac{2}{3}\pi+\frac{2}{3}\pi=\frac{4}{3}\pi$cm。
故选C。

【变式】如图3-7所示,正六边形硬纸片$ABCDEF在桌面上由起始位置沿直线l$不滑动地翻滚一周,若正六边形的边长为2 cm,则正六边形的中心$O$运动的路程为cm.

【解析】：
本题考查正多边形和圆、弧长的计算，正六边形有6条边，不滑动滚一周，则O点绕六个外角旋转，
每个外角为$360^\circ÷6=60^\circ$，
O点旋转了6个60度，即旋转了$360^\circ$，
根据弧长公式：$l=\frac{n\pi r}{180}$，其中$l$为弧长，$n$为圆心角的度数，$r$为半径，
由图可知正六边形的中心$O$运动的路程为半径为2cm的圆的周长，
所以$O$运动的路程为$=\frac{360\pi × 2}{180}=4\pi$（cm）。
【答案】：$4\pi$。