7. (★)如图 24 - 32,点 $A$, $B$, $C$ 在 $\odot O$ 上,若 $\angle BAC = 45^{\circ}$, $OB = 2$,则图中阴影部分的面积为 【】

A.$\pi - 4$
B.$\frac{2}{3}\pi - 1$
C.$\pi - 2$
D.$\frac{2}{3}\pi - 2$

C

$\because\angle BAC=45^{\circ}$，
根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
$\therefore \angle BOC=2\angle BAC=90^{\circ}$，
$\because OB=2$，$OB=OC$，
$\therefore \triangle BOC$是等腰直角三角形，
根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}ab$（$a,b$为直角边），
可得${S}_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}× 2× 2 = 2$，
根据圆的扇形面积公式$S=\frac{n\pi r^{2}}{360}$（$n$为圆心角度数，$r$为半径），
$\therefore$扇形$BOC$的面积为：$\frac{90\pi×{2}^{2}}{360}=\pi$，
$\therefore$阴影部分面积为：${S}_{扇形BOC}-{S}_{\triangle BOC}=\pi - 2$。

8. (★★)如图 24 - 33,在平面直角坐标系 $xOy$ 中,等边 $\triangle ABC$ 的顶点 $A$ 在 $y$ 轴的正半轴上, $B(-5,0)$, $C(5,0)$, $D(11,0)$,将 $\triangle ACD$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $60^{\circ}$得到 $\triangle ABE$,则 $\overset{\frown}{BC}$ 的长度为,线段 $AE$ 的长为,图中阴影部分的面积为.

$\frac{10π}{3}$，14，$\frac{98π}{3}-49\sqrt{3}$

1. 弧BC的长度：
等边△ABC中，B(-5,0)，C(5,0)，则BC=10，AB=AC=10，∠BAC=60°。弧BC是以A为圆心、AB为半径的弧，圆心角60°，弧长公式$l=\frac{nπr}{180}=\frac{60π×10}{180}=\frac{10π}{3}$。
2. 线段AE的长：
A在y轴正半轴，由AB=10，B(-5,0)，得$OA=\sqrt{AB^2 - OB^2}=\sqrt{10^2 - 5^2}=5\sqrt{3}$，即A(0,5√3)。D(11,0)，则$AD=\sqrt{(11-0)^2 + (0-5\sqrt{3})^2}=\sqrt{121 + 75}=14$。△ACD绕A顺时针旋转60°得△ABE，由旋转性质AE=AD=14。
3. 阴影部分的面积：
旋转角60°，AD=AE=14，扇形ADE面积$S_{扇形}=\frac{60π×14^2}{360}=\frac{98π}{3}$。△ADE为等边三角形，面积$S_{△ADE}=\frac{\sqrt{3}}{4}×14^2=49\sqrt{3}$。阴影面积=扇形ADE面积 - △ADE面积=$\frac{98π}{3}-49\sqrt{3}$。

9. (★★)如图 24 - 34,在正五边形 $ABCDE$ 中,连接 $AC$,以点 $A$ 为圆心,$AB$ 为半径画圆弧交 $AC$ 于点 $F$,连接 $DF$,则 $\angle FDC$ 的度数是【】

A.$18^{\circ}$
B.$30^{\circ}$
C.$36^{\circ}$
D.$40^{\circ}$

C

∵ABCDE是正五边形，
∴AB=BC=CD=DE=EA，每个内角为108°，即∠ABC=108°。
在△ABC中，AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA=(180°-108°)/2=36°。
以A为圆心，AB为半径画弧交AC于F，
∴AF=AB。
正五边形对角线相等，
∴AC=AD，∠CAD=36°（正五边形内角108°被对角线三等分）。
在△ABC和△AFD中，∠BAC=∠FAD=36°，AF=AB，AD=AC，
∴AB/AC=AF/AD，故△ABC∽△AFD，
∴∠ADF=∠ACB=36°。
在△ACD中，AC=AD，∠CAD=36°，
∴∠ADC=(180°-36°)/2=72°。
∴∠FDC=∠ADC-∠ADF=72°-36°=36°。

10. (★)如图 24 - 35,分别以正五边形 $ABCDE$ 的顶点 $A$, $D$ 为圆心,以 $AB$ 长为半径画 $\overset{\frown}{BE}$, $\overset{\frown}{CE}$.若 $AB = 1$,则阴影部分图形的周长为.(结果保留 $\pi$)

6π/5 + 1

正五边形内角和为(5-2)×180°=540°，每个内角为540°/5=108°。以A为圆心，AB=1为半径画弧BE，圆心角∠BAE=108°，弧BE长=108π×1/180=3π/5；以D为圆心，AB=1为半径画弧CE，圆心角∠CDE=108°，弧CE长=108π×1/180=3π/5。阴影部分周长为弧BE长+弧CE长+BC长=3π/5+3π/5+1=6π/5+1。

11. (★)若粮仓顶部是圆锥形,且这个圆锥的底面直径为 $4$ m,母线长为 $3$ m,为防雨需在粮仓顶部铺上油毡,则这块油毡的面积是 【】
A.$6$ m$^{2}$
B.$6\pi$ m$^{2}$
C.$12$ m$^{2}$
D.$12\pi$ m$^{2}$

B

圆锥的侧面积（即油毡的面积）计算公式为$S = \pi r l$，其中$r$为底面半径，$l$为母线长。
已知底面直径为$4m$，则半径$r = 2m$，母线长$l = 3m$。
将数值代入公式得：$S = \pi × 2 × 3 = 6\pi (m^{2})$。

12. (★)用半径为 $20$ cm,圆心角为 $108^{\circ}$ 的扇形纸片围成一个圆锥,则该圆锥的底面半径是.

$6$ $cm$

设圆锥底面半径为$r$。
扇形的弧长公式为$\frac{n\pi R}{180}$，其中$n$为圆心角，$R$为半径。
已知扇形圆心角$n = 108^{\circ}$，半径$R = 20cm$，则扇形弧长为$\frac{108×\pi×20}{180}=12\pi$。
因为该扇形纸片围成一个圆锥，圆锥底面周长$C = 2\pi r$等于扇形弧长，即$2\pi r=12\pi$，解得$r = 6cm$。

13. (★)一扇形的圆心角是 $150^{\circ}$,半径为 $4$,用它作为一个圆锥的侧面,那么这个圆锥的表面积是.

$\frac{85\pi}{9}$（或填写该答案对应的形式）

本题可先根据扇形弧长公式求出扇形的弧长，该弧长即为圆锥底面圆的周长，进而求出底面半径，然后分别求出圆锥的侧面积和底面积，最后将二者相加得到圆锥的表面积。
步骤一：求扇形的弧长
根据扇形弧长公式$l = \frac{n\pi r}{180}$（其中$l$为弧长，$n$为圆心角度数，$r$为扇形半径），已知扇形圆心角$n = 150^{\circ}$，半径$r = 4$，可得扇形弧长为：
$l=\frac{150\pi×4}{180}=\frac{10\pi}{3}$
步骤二：求圆锥底面半径
因为该扇形作为一个圆锥的侧面，所以扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，设圆锥底面半径为$R$，根据圆的周长公式$C = 2\pi R$（其中$C$为周长），可得$2\pi R=\frac{10\pi}{3}$，解得$R = \frac{5}{3}$。
步骤三：分别求圆锥的侧面积和底面积
求圆锥的侧面积：
圆锥的侧面积就是该扇形的面积，根据扇形面积公式$S_{扇}=\frac{1}{2}lr$（其中$l$为弧长，$r$为半径），已知弧长$l = \frac{10\pi}{3}$，半径$r = 4$，可得圆锥侧面积为：
$S_{侧}=\frac{1}{2}×\frac{10\pi}{3}×4=\frac{20\pi}{3}$
求圆锥的底面积：
根据圆的面积公式$S = \pi R^{2}$（其中$R$为半径），已知圆锥底面半径$R = \frac{5}{3}$，可得圆锥底面积为：
$S_{底}=\pi×(\frac{5}{3})^{2}=\frac{25\pi}{9}$
步骤四：求圆锥的表面积
圆锥的表面积等于侧面积与底面积之和，即$S = S_{侧}+S_{底}=\frac{20\pi}{3}+\frac{25\pi}{9}=\frac{60\pi + 25\pi}{9}=\frac{85\pi}{9}$。

14. (★★)如图 24 - 36,一个圆锥的高为 $3\sqrt{3}$ cm,其侧面展开图是半圆.求:
(1)圆锥的母线长 $l$ 与底面半径 $r$ 之比;
(2)圆锥的侧面积.(结果保留 $\pi$)

(1) 由题意，圆锥侧面展开图是一个半圆，所以：
$2\pi r = \pi l$，
$ \frac{l}{r} = 2$，
所以，圆锥的母线长 $l$ 与底面半径 $r$ 之比为 $2:1$。
(2) 由圆锥的高 $h = 3\sqrt{3}$ cm，圆锥的高、母线、底面半径组成一个直角三角形，
所以：
$l^2 = r^2 + (3\sqrt{3})^2$，
由 (1) 知 $l = 2r$，代入上式得：
$(2r)^2 = r^2 + 27$，
$4r^2 = r^2 + 27$，
$3r^2 = 27$，
$r^2 = 9$，
$r = 3 cm$，
$l = 2r = 6 cm$，
圆锥的侧面积 $S = \pi r l = \pi × 3 × 6 = 18\pi cm^2$。
所以，圆锥的侧面积为 $18\pi cm^2$。