9. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 B(4,0),C(0,1),点 A 在第三象限,AC⊥BC,AC= BC,则点 A 的坐标为()
A.(-1,-3)
B.(-2,-3)
C.(-3,-1)
D.(-2,-2)

A

设点$A$的坐标为$(x,y)$，因为点$A$在第三象限，所以$x＜0$，$y＜0$。
已知点$B(4,0)$，$C(0,1)$，则：
$BC$的长度：$\sqrt{(4 - 0)^2 + (0 - 1)^2}=\sqrt{16 + 1}=\sqrt{17}$
$AC$的长度：$\sqrt{(x - 0)^2 + (y - 1)^2}=\sqrt{x^2 + (y - 1)^2}$
因为$AC = BC$，所以$\sqrt{x^2 + (y - 1)^2}=\sqrt{17}$，即$x^2 + (y - 1)^2=17$ ①
$k_{BC}=\frac{0 - 1}{4 - 0}=-\frac{1}{4}$，因为$AC\perp BC$，所以$k_{AC}× k_{BC}=-1$，则$k_{AC}=4$
$k_{AC}=\frac{y - 1}{x - 0}=4$，即$y - 1 = 4x$，$y = 4x + 1$ ②
将②代入①：$x^2 + (4x + 1 - 1)^2=17$，$x^2 + 16x^2=17$，$17x^2=17$，$x^2=1$
因为$x＜0$，所以$x=-1$，代入②得$y=4×(-1)+1=-3$
所以点$A$的坐标为$(-1,-3)$
A

10. 如图,AD 是△ABC 的角平分线,DE⊥AC,垂足为 E,BF//AC,且交 ED 的延长线于点 F.若 BC 恰好平分∠ABF,AE= 2BF,给出下列四个结论:① DE= DF;② DB= DC;③ AD⊥BC;④ AC= 3BF.其中正确的结论有()
A.4 个
B.3 个
C.2 个
D.1 个

A

∵BF//AC，DE⊥AC，
∴∠C=∠CBF，∠F=∠CED=90°，DE⊥BF。
∵BC平分∠ABF，
∴∠ABC=∠CBF，
∴∠C=∠ABC，
∴AB=AC。
∵AD是△ABC的角平分线，
∴BD=CD，AD⊥BC（三线合一），故②③正确。
在△CDE和△BDF中，∠C=∠CBF，CD=BD，∠CDE=∠BDF，
∴△CDE≌△BDF(ASA)，
∴DE=DF，CE=BF，故①正确。
∵AE=2BF，CE=BF，
∴AC=AE+CE=2BF+BF=3BF，故④正确。
综上，①②③④均正确。
A

11. 若△ABC≌△EFG,且∠B= 60°,∠FGE-∠E= 56°,则∠A 的度数是.

32°

∵△ABC≌△EFG，∠B=60°，
∴∠B=∠F=60°，∠A=∠E，∠C=∠FGE。
设∠E=x，则∠FGE=x+56°。
在△EFG中，∠E+∠F+∠FGE=180°，
x+60°+(x+56°)=180°，
2x+116°=180°，
2x=64°，
x=32°，
∴∠A=∠E=32°。
32°

12. 如图,C 是线段 AB 的中点,DA//EC.请添加一个条件,使得△DAC≌△ECB.你添加的条件是______.(不添加辅助线,写出一个即可)

AD=CE

∵C是AB中点，∴AC=CB。∵DA//EC，∴∠A=∠ECB。添加条件AD=CE，在△DAC和△ECB中，AD=CE，∠A=∠ECB，AC=CB，∴△DAC≌△ECB(SAS)

13. 如图,在△ABC 中,AD 为边 BC 上的中线,CE⊥AB 于点 E,AD 与 CE 交于点 F,连接 BF.若 BF 平分∠ABC,EF= 2,BC= 8,则△CDF 的面积为______.

4

过点F作FG⊥BC于点G。
∵BF平分∠ABC，CE⊥AB，FG⊥BC，
∴FG=EF=2。
∵AD为BC边上的中线，BC=8，
∴CD= $\frac{1}{2}$BC=4。
∴$S_{\triangle CDF}=\frac{1}{2} × CD × FG=\frac{1}{2} × 4 × 2=4$。
4

14. 如图,AB= DC,AD= BC,E,F 是 DB 上的两点,且 BF= DE.若∠AEB= 120°,∠ADB= 30°,则∠BCF 的度数为.

90°

在△ABD和△CDB中，
∵AB=DC，AD=BC，BD=DB，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
∴∠ADB=∠CBD=30°，∠ABD=∠CDB。
∵BF=DE，
∴BF-EF=DE-EF，即BE=DF。
在△ABE和△CDF中，
∵AB=DC，∠ABD=∠CDB，BE=DF，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴∠AEB=∠CFD=120°。
∵∠CFD是△BFC的外角，
∴∠CFD=∠BCF+∠CBD，
∴∠BCF=∠CFD-∠CBD=120°-30°=90°。
90°

15. 如图,在△ABC 中,AB= 12,BC= 15,AC= 8,AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D.在 AB 上截取 AE= AC,则△BDE 的周长为______.

19

∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠CAD．
在△AED和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l} AE=AC\\ ∠EAD=∠CAD\\ AD=AD\end{array}\right.$，
∴△AED≌△ACD(SAS)，
∴ED=CD．
∵AB=12，AC=8，AE=AC，
∴BE=AB - AE=12 - 8=4．
∵BC=15，
∴△BDE的周长=BE + BD + ED=BE + BD + CD=BE + BC=4 + 15=19．
19