24. (本小题8分)如图①,将边长为a,b的两个正方形和两个边长分别为a,b($a\lt b$)的长方形拼凑成如图②所示的大正方形ABCD.记四边形AHOE,HDGO,OGCF,EOFB的面积分别为$S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}$.
(1) 若$S_{1}= 10$,$S_{2}= 25$,则$a+b= $;若$a+b= 10$,$S_{1}= 15$,则$S_{2}+S_{4}= $;
(2) 如图③,连接EC,HC,HC交EG于点M.若四边形HMGD的面积与$\triangle EMC面积之差是S_{4}$的2倍,求$S_{2}:S_{4}$的值.

(1) 7；70
(2) 5
详细步骤：
(1) 由图②可知，大正方形边长为 $a+b$，$S_1=ab$，$S_2=b^2$，$S_3=ab$，$S_4=a^2$。
当 $S_1=10$，$S_2=25$ 时，$b^2=25\Rightarrow b=5$，$ab=10\Rightarrow a=2$，故 $a+b=7$。
当 $a+b=10$，$S_1=15$ 时，$ab=15$，$S_2+S_4=b^2+a^2=(a+b)^2-2ab=10^2-2×15=70$。
(2) 建立坐标系，设 $B(0,0)$，$C(a+b,0)$，$A(0,a+b)$，$D(a+b,a+b)$，则 $E(0,a)$，$H(a,a+b)$，$O(a,a)$，$G(a+b,a)$。
直线 $HC$ 方程：$y=-\frac{a+b}{b}(x-a)+(a+b)$，与 $EG(y=a)$ 交于 $M\left(\frac{a^2+ab+b^2}{a+b},a\right)$。
四边形 $HMGD$ 面积：梯形面积公式得 $\frac{b^2(2a+b)}{2(a+b)}$。
$\triangle EMC$ 面积：以 $EM$ 为底，高为 $a$，得 $\frac{a(a^2+ab+b^2)}{2(a+b)}$。
由题意：$\frac{b^2(2a+b)-a(a^2+ab+b^2)}{2(a+b)}=2a^2$，化简得 $b^2=5a^2$，故 $S_2:S_4=b^2:a^2=5$。

25. (本小题8分)如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$\angle BAC= 120^{\circ}$,D是BC上的动点,将$\triangle ABD$沿直线AD折叠得到$\triangle AED$,连接CE.
(1) 若$AB= AC= 3$,$\angle BAD= 30^{\circ}$,求CE的长;
(2) 若$\angle BAD= \alpha (0^{\circ}\lt \alpha \lt 60^{\circ})$,则$\angle AEC$的度数为______;(用含$\alpha$的式子表示)
(3) 在(2)的条件下,当$\triangle CDE$是等腰三角形时,求$\alpha$的值.

(1) 3；(2) 30°+α；(3) 20°或40°。

(1) ∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠ABC=∠ACB=30°。
由折叠性质得：AE=AB=3，∠EAD=∠BAD=30°，∴∠BAE=2∠BAD=60°。
∵∠BAC=120°，∴∠EAC=∠BAC - ∠BAE=60°。
∵AE=AC=3，∠EAC=60°，∴△AEC为等边三角形，∴CE=AC=3。
(2) 30°+α
(3) 分两种情况：
① 当CD=CE时，∠CDE=∠CED。
∵∠CDE=120°-2α，∠DCE=α，∴2(120°-2α)+α=180°，解得α=20°。
② 当DE=CE时，∠DCE=∠CDE。
∵∠DCE=α，∠CDE=120°-2α，∴α=120°-2α，解得α=40°。
综上，α=20°或40°。