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7. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}-3x+1= 0的两根为x_{1},x_{2}$,则$x_{1}^{2}-5x_{1}-2x_{2}$的值为(
A.-7
B.-3
C.2
D.5
A
)A.-7
B.-3
C.2
D.5
答案
A
解析
∵$x_1$是方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的根，∴$x_1^2 - 3x_1 + 1 = 0$，即$x_1^2 = 3x_1 - 1$。
将$x_1^2 = 3x_1 - 1$代入$x_1^2 - 5x_1 - 2x_2$，得：
$3x_1 - 1 - 5x_1 - 2x_2 = -2x_1 - 2x_2 - 1 = -2(x_1 + x_2) - 1$。
由韦达定理，方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的两根之和$x_1 + x_2 = 3$。
∴原式$= -2×3 - 1 = -7$。
将$x_1^2 = 3x_1 - 1$代入$x_1^2 - 5x_1 - 2x_2$，得：
$3x_1 - 1 - 5x_1 - 2x_2 = -2x_1 - 2x_2 - 1 = -2(x_1 + x_2) - 1$。
由韦达定理，方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的两根之和$x_1 + x_2 = 3$。
∴原式$= -2×3 - 1 = -7$。
8. 已知m,n,4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长,且m,n是关于x的一元二次方程$x^{2}-6x+k+2= 0$的两个根,则k的值为(
A.7
B.7或6
C.6或-7
D.6
B
)A.7
B.7或6
C.6或-7
D.6
答案
B
解析
分两种情况讨论：
1. 若腰长为4，则方程有一根为4。将x=4代入方程得：$4^2 - 6×4 + k + 2 = 0$，解得$k=6$。此时方程为$x^2 - 6x + 8 = 0$，根为4和2。三边为4,2,4，满足三角形三边关系，且非等边三角形。
2. 若腰长为m=n，则方程有两相等实根，判别式$\Delta=(-6)^2 - 4(k + 2)=0$，解得$k=7$。此时方程为$x^2 - 6x + 9 = 0$，根为3和3。三边为3,3,4，满足三角形三边关系，且非等边三角形。
综上，k=6或7。
1. 若腰长为4，则方程有一根为4。将x=4代入方程得：$4^2 - 6×4 + k + 2 = 0$，解得$k=6$。此时方程为$x^2 - 6x + 8 = 0$，根为4和2。三边为4,2,4，满足三角形三边关系，且非等边三角形。
2. 若腰长为m=n，则方程有两相等实根，判别式$\Delta=(-6)^2 - 4(k + 2)=0$，解得$k=7$。此时方程为$x^2 - 6x + 9 = 0$，根为3和3。三边为3,3,4，满足三角形三边关系，且非等边三角形。
综上，k=6或7。
9. 已知m,n是关于x的一元二次方程$x^{2}-2x-5= 0$的两个不相等的实数根,若m＜n,则m的取值范围是(
A.-3＜m＜-2
B.-2＜m＜-1
C.-1＜m＜0
D.0＜m＜1
B
)A.-3＜m＜-2
B.-2＜m＜-1
C.-1＜m＜0
D.0＜m＜1
答案
B
解析
对于方程$x^{2} - 2x - 5 = 0$，其判别式$\Delta =b^2 - 4ac$，这里$a = 1$，$b=-2$，$c = - 5$，则$\Delta=(-2)^{2}-4×1×(-5)=4 + 20=24＞0$，所以方程有两个不相等实数根。
由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$可得$x=\frac{2\pm\sqrt{24}}{2}=\frac{2\pm2\sqrt{6}}{2}=1\pm\sqrt{6}$，因为$m\lt n$，所以$m = 1-\sqrt{6}$，$\sqrt{6}\approx2.45$，则$1-\sqrt{6}\approx1 - 2.45=-1.45$，所以$-2\lt m\lt - 1$。
由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$可得$x=\frac{2\pm\sqrt{24}}{2}=\frac{2\pm2\sqrt{6}}{2}=1\pm\sqrt{6}$，因为$m\lt n$，所以$m = 1-\sqrt{6}$，$\sqrt{6}\approx2.45$，则$1-\sqrt{6}\approx1 - 2.45=-1.45$，所以$-2\lt m\lt - 1$。
10. 已知ac≠0,关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0$有一根为x= 2025,则关于y的一元二次方程$cy^{2}+by+a= 0$必有一根为(
A.-2025
B.2025
C.$-\frac{1}{2025}$
D.$\frac{1}{2025}$
D
)A.-2025
B.2025
C.$-\frac{1}{2025}$
D.$\frac{1}{2025}$
答案
D
解析
∵x=2025是方程$ax^{2}+bx+c=0$的根，∴$a\cdot2025^{2}+b\cdot2025+c=0$。两边同除以$2025^{2}$得：$a + b\cdot\frac{1}{2025}+c\cdot(\frac{1}{2025})^{2}=0$，即$c\cdot(\frac{1}{2025})^{2}+b\cdot\frac{1}{2025}+a=0$。∴$y=\frac{1}{2025}$是方程$cy^{2}+by+a=0$的根。
11. 若关于x的一元二次方程$ax^{2}= 16$有整数根,则整数a的值可以是
1
.(写一个即可)答案
1
解析
方程$ax^2 = 16$可化为$x^2 = \frac{16}{a}$，因为方程有整数根，所以$\frac{16}{a}$必须是完全平方数，且$a$为整数。取$a = 1$时，$x^2 = 16$，解得$x = \pm 4$，为整数根。
12. 若关于x的一元二次方程$x^{2}+2x-1= 0$的两根分别为m,n,则$m^{2}n+mn^{2}$的值为
2
.答案
2（题目空缺为填数题，直接填数字即可，不用括号与说明）
解析
根据韦达定理，对于一元二次方程 $x^{2} + 2x - 1 = 0$，其两根 $m$ 和 $n$ 满足：
$m + n = - \frac{b}{a} = -2$，
$mn = \frac{c}{a} = -1$，
其中，$a = 1, b = 2, c = -1$ 是方程 $x^{2} + 2x - 1 = 0$ 的系数。
接下来，要求 $m^{2}n + mn^{2}$ 的值。
根据代数式的性质，有：
$m^{2}n + mn^{2} = mn(m + n)$，
将 $m + n = -2$ 和 $mn = -1$ 代入上式，得：
$m^{2}n + mn^{2} = -1 × (-2) = 2$。
$m + n = - \frac{b}{a} = -2$，
$mn = \frac{c}{a} = -1$，
其中，$a = 1, b = 2, c = -1$ 是方程 $x^{2} + 2x - 1 = 0$ 的系数。
接下来，要求 $m^{2}n + mn^{2}$ 的值。
根据代数式的性质，有：
$m^{2}n + mn^{2} = mn(m + n)$，
将 $m + n = -2$ 和 $mn = -1$ 代入上式，得：
$m^{2}n + mn^{2} = -1 × (-2) = 2$。
13. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}+x+k+1= 0$有一个根是2,则另一个根为
-3
.答案
（这里因为不是选择题，按要求应直接写结果）-3
解析
设方程的另一根为$x_1$，根据一元二次方程根与系数的关系，方程$x^{2}+x+k+1=0$的两根之和为$-1$（因为一次项系数为$1$，二次项系数为$1$，两根之和等于$-\frac{b}{a}=-\frac{1}{1} = - 1$）。
已知一个根是$2$，则$2 + x_1=-1$，解得$x_1=-3$。
已知一个根是$2$，则$2 + x_1=-1$，解得$x_1=-3$。
14. 把一根长2 m的绳子分成两段,使较长一段的长的平方等于较短一段的长与原绳长的积.设较长一段的长为x m.根据题意,可列方程为
$ x^2 = 2(2 - x) $
.答案
$ x^2 = 2(2 - x) $
解析
较长一段的长为 $ x $ m，则较短一段的长为 $ (2 - x) $ m。根据题意“较长一段的长的平方等于较短一段的长与原绳长的积”，可列方程为 $ x^2 = 2(2 - x) $。
15. 设$x_{1},x_{2}$是关于x的一元二次方程$x^{2}-3x+k= 0$的两个根,且$x_{1}= 2x_{2}$,则k的值为
2
.答案
1. 首先，根据韦达定理：
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，若$x_1$，$x_2$是其两根，则$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$。
对于方程$x^{2}-3x + k = 0$，其中$a = 1$，$b=-3$，$c = k$，所以$x_{1}+x_{2}=3$，$x_{1}x_{2}=k$。
2. 然后，因为$x_{1}=2x_{2}$：
将$x_{1}=2x_{2}$代入$x_{1}+x_{2}=3$中，得到$2x_{2}+x_{2}=3$。
合并同类项：$3x_{2}=3$，解得$x_{2}=1$。
再把$x_{2}=1$代入$x_{1}=2x_{2}$，可得$x_{1}=2$。
3. 最后，求$k$的值：
因为$x_{1}x_{2}=k$，把$x_{1}=2$，$x_{2}=1$代入$x_{1}x_{2}=k$，则$k=x_{1}x_{2}=2×1 = 2$。
故$k$的值为$2$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，若$x_1$，$x_2$是其两根，则$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$。
对于方程$x^{2}-3x + k = 0$，其中$a = 1$，$b=-3$，$c = k$，所以$x_{1}+x_{2}=3$，$x_{1}x_{2}=k$。
2. 然后，因为$x_{1}=2x_{2}$：
将$x_{1}=2x_{2}$代入$x_{1}+x_{2}=3$中，得到$2x_{2}+x_{2}=3$。
合并同类项：$3x_{2}=3$，解得$x_{2}=1$。
再把$x_{2}=1$代入$x_{1}=2x_{2}$，可得$x_{1}=2$。
3. 最后，求$k$的值：
因为$x_{1}x_{2}=k$，把$x_{1}=2$，$x_{2}=1$代入$x_{1}x_{2}=k$，则$k=x_{1}x_{2}=2×1 = 2$。
故$k$的值为$2$。
解析
根据题意，方程$x^{2}-3x+k=0$的两个根为$x_{1}$和$x_{2}$，且$x_{1}=2x_{2}$。
根据一元二次方程根与系数的关系，有：
$x_{1} + x_{2} = 3$，
$x_{1} \cdot x_{2} = k$，
由于$x_{1} = 2x_{2}$，代入$x_{1} + x_{2} = 3$得：
$2x_{2} + x_{2} = 3$，
$3x_{2} = 3$，
$x_{2} = 1$，
则$x_{1} = 2x_{2} = 2$。
最后，根据$x_{1} \cdot x_{2} = k$，有：
$k = x_{1} \cdot x_{2} = 2 × 1 = 2$。
根据一元二次方程根与系数的关系，有：
$x_{1} + x_{2} = 3$，
$x_{1} \cdot x_{2} = k$，
由于$x_{1} = 2x_{2}$，代入$x_{1} + x_{2} = 3$得：
$2x_{2} + x_{2} = 3$，
$3x_{2} = 3$，
$x_{2} = 1$，
则$x_{1} = 2x_{2} = 2$。
最后，根据$x_{1} \cdot x_{2} = k$，有：
$k = x_{1} \cdot x_{2} = 2 × 1 = 2$。
16. “降次”是解一元二次方程的基本思想,用这种思想解高次方程$x^{3}-4x= 0$,它的解是
$x_1=0$，$x_2=-2$，$x_3=2$
.答案
$x_1=0$，$x_2=-2$，$x_3=2$
解析
$x^3 - 4x = 0$，提取公因式$x$得$x(x^2 - 4) = 0$，利用平方差公式分解$x^2 - 4$得$x(x + 2)(x - 2) = 0$，则$x = 0$或$x + 2 = 0$或$x - 2 = 0$，解得$x_1 = 0$，$x_2 = -2$，$x_3 = 2$。
