7. 如图,已知AB= AC,点D是AB上的一点,DE⊥BC于点E,ED的延长线交CA的延长线于点F,△ADF是等腰三角形吗？为什么？

是，理由略。

△ADF是等腰三角形。
证明：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C。
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=∠DEC=90°。
∴∠BDE=90°-∠B，∠F=90°-∠C。
∵∠B=∠C，
∴∠BDE=∠F。
∵∠BDE=∠ADF（对顶角相等），
∴∠F=∠ADF。
∴AD=AF。
即△ADF是等腰三角形。

8. 如图,锐角三角形ABC的两条高BD,CE相交于点O,且OB= OC。连接AO并延长,交BC于点F。试判断：

(1)△ABC是不是等腰三角形？请说明理由。
(2)点O是否在∠BAC的平分线上？请说明理由。

解：（1）△ABC 是等腰三角形。理由如下：因为 OB=OC，所以∠OBC=∠OCB。因为锐角三角形 ABC 的两条高 BD，CE 相交于点 O，所以∠BEC=∠BDC=90°。所以∠ABC=∠ACB。所以 AB=AC，故△ABC 是等腰三角形。（2）点 O 在∠BAC 的平分线上。理由如下：因为 AB=AC，OB=OC，OA=OA，所以△AOB≌△AOC（SSS）。所以∠BAF=∠CAF。所以点 O 在∠BAC 的平分线上。

（1）△ABC是等腰三角形。理由如下：
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB。
∵BD，CE是△ABC的高，
∴∠BEC=∠BDC=90°。
在△BEC和△CDB中，
∠BEC=∠CDB，∠EBC=∠DCB，BC=CB，
∴△BEC≌△CDB（AAS），
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
故△ABC是等腰三角形。
（2）点O在∠BAC的平分线上。理由如下：
∵AB=AC，OB=OC，OA=OA，
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴∠BAO=∠CAO，
∴点O在∠BAC的平分线上。

9. 如图,在△ABC中,∠ABC的平分线BD与∠ACB的平分线CD相交于点D,点E是边BC上的点,CE= DE。

(1)若∠A= 82°,求∠BDC的度数；
(2)DE//AC吗？请说明理由。

解：（1）因为∠ABC 的平分线 BD 与∠ACB 的平分线 CD 相交于点 D，所以∠DBC=1/2∠ABC，∠DCB=1/2∠ACB，所以∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB=180°-1/2（∠ABC+∠ACB）=180°-1/2（180°-∠A）=90°+1/2∠A=131°。（2）因为∠ACB 的平分线是 CD，所以∠DCB=∠ACD。因为 CE=DE，所以∠DCB=∠EDC，所以∠ACD=∠EDC，所以 DE//AC。

（1）
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠DCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∵∠A=82°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=98°，
∴∠DBC+∠DCB=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=49°，
∴∠BDC=180°-(∠DBC+∠DCB)=131°；
（2）DE//AC，理由如下：
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠DCB，
∵CE=DE，
∴∠EDC=∠DCB，
∴∠ACD=∠EDC，
∴DE//AC.

10. 在△ABC中,AB= AC,点D,E分别在边AC,AB的延长线上,请添加一个条件(不再添加新的字母),使得BD= CE,并说明理由。

解：添加条件：BE=CD（答案不唯一）。理由如下：因为 AB=AC，所以∠ABC=∠ACB。因为∠ABC+∠EBC=∠ACB+∠BCD=180°，所以∠CBE=∠BCD。在△BCD 和△CBE 中，{CD=BE，∠BCD=∠CBE，CB=BC，所以△BCD≌△CBE（SAS），所以 BD=CE。

解：添加条件：$BE = CD$。理由如下：
因为$AB = AC$，所以$\angle ABC=\angle ACB$。
因为$\angle ABC+\angle EBC = 180°$，$\angle ACB+\angle BCD=180°$，所以$\angle CBE=\angle BCD$。
在$\triangle BCD$和$\triangle CBE$中，$\left\{\begin{array}{l}CD = BE\\\angle BCD=\angle CBE\\CB = BC\end{array}\right.$，所以$\triangle BCD\cong\triangle CBE(SAS)$，所以$BD = CE$。