10. 如图,一架梯子斜靠在墙上,若梯子底端到墙的距离$AC= 3\ m$,$\cos\angle BAC= \frac{3}{4}$,则梯子长$AB=$$m$.

在$Rt\bigtriangleup ABC$中，$\cos\angle BAC = \frac{AC}{AB}$，已知$AC = 3m$，$\cos\angle BAC=\frac{3}{4}$。
则$\frac{3}{AB}=\frac{3}{4}$，解得$AB = 4m$。
故答案为$4$。

11. 计算:$(\frac{1}{3})^{-1}-\vert-2+\sqrt{3}\tan 45°\vert+(\sqrt{2}-1.41)^0= $.

$\boxed{2+\sqrt{3}}$

首先计算各部分：
1. $(\frac{1}{3})^{-1} = 3$
2. $\tan 45^\circ = 1$，故 $-2 + \sqrt{3} \cdot 1 = -2 + \sqrt{3}$，其绝对值为 $|-2 + \sqrt{3}| = 2 - \sqrt{3}$（因 $\sqrt{3} \approx 1.732 ＜ 2$）
3. $(\sqrt{2} - 1.41)^0 = 1$（因 $\sqrt{2} \approx 1.414 ＞ 1.41$，底数非零）
将各部分代入原式：
$3 - (2 - \sqrt{3}) + 1 = 3 - 2 + \sqrt{3} + 1 = 2 + \sqrt{3}$

12. 如图,已知正方形$ABCD$的边长为2,如果将线段$BD绕着点B$旋转后,点$D落在CB的延长线上D'$处,那么$\tan\angle BAD'= $.

解：
已知正方形$ABCD$的边长为2，所以$AB=AD=BC=CD=2$，
由勾股定理，$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$，
因为$BD$旋转后$D$落在$CB$的延长线上$D'$处，所以$BD = BD' = 2\sqrt{2}$，
在直角三角形$ABD'$中，$\tan\angle BAD' = \frac{对边}{邻边} = \frac{BD'}{AB} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$，
所以$\tan\angle BAD' = \sqrt{2}$。

13. 一次函数图象经过点$(\tan 45°,\tan 60°)和(-\cos 60°,-6\tan 30°)$,则此一次函数的表达式为.

答题卡：
解：
设一次函数的表达式为 $y = kx + b$。
根据特殊角的三角函数值，有：
$\tan 45^\circ = 1$
$\tan 60^\circ = \sqrt{3}$
$-\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}$
$-6\tan 30^\circ = -6 × \frac{\sqrt{3}}{3} = -2\sqrt{3}$
所以，一次函数图象经过点 $(1, \sqrt{3})$ 和 $\left(-\frac{1}{2}, -2\sqrt{3}\right)$。
将这两个点的坐标代入 $y = kx + b$，得到方程组：
$\begin{cases}k + b = \sqrt{3} \\-\frac{1}{2}k + b = -2\sqrt{3}\end{cases}$
解这个方程组，得到：
$\begin{cases}k = 2\sqrt{3} \\b = -\sqrt{3}\end{cases}$
因此，此一次函数的表达式为 $y = 2\sqrt{3}x - \sqrt{3}$。

14. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90°$,$CD是AB$边的中线,$AC= 6$,$CD= 5$,则$\sin A= $.

$\because$在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD$是$AB$边的中线，$CD = 5$。
$\therefore AB=2CD = 10$。
$\therefore \sin A=\frac{BC}{AB}$，
在$Rt\triangle ABC$中，由勾股定理可得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100 - 36}=\sqrt{64}=8$。
$\therefore \sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$。
答案为$\frac{4}{5}$。

15. 已知$\sqrt{2}+1是方程x^2-(3\tan\theta)x+\sqrt{2}= 0$的一个根,$\theta$是三角形的一个内角,那么$\cos\theta$的值为.

由于 $\sqrt{2} + 1$ 是方程 $x^2 - (3\tan\theta)x + \sqrt{2} = 0$ 的一个根，根据一元二次方程的根与系数的关系，有：
$x_1 + x_2 = 3\tan\theta$，
$x_1 × x_2 = \sqrt{2}$，
其中 $x_1 = \sqrt{2} + 1$，代入得：
$\sqrt{2} + 1 + x_2 = 3\tan\theta$，
$(\sqrt{2} + 1) × x_2 = \sqrt{2}$，
解第二个方程得 $x_2$：
$x_2 = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = 2 - \sqrt{2}$，
将 $x_1$ 和 $x_2$ 代入第一个方程得：
$\sqrt{2} + 1 + 2 - \sqrt{2} = 3\tan\theta$，
$3 = 3\tan\theta$，
$\tan\theta = 1$，
由于 $\theta$ 是三角形的一个内角，且 $\tan\theta = 1$，则 $\theta = 45^\circ$。
因此，$\cos\theta = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$。

16. 如图,每个小正方形的边长均为1,$\triangle ABC$的顶点都在格点上,则$\sin C= $.

由网格可知：$AB = 4$，$BC = \sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$ ，$AC = \sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$。
因为$AB^{2}+BC^{2}=16 + 5=21$，$AC^{2}=25$不满足勾股定理，但$AB^{2}+BC^{2}$计算错误，重新计算$BC=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}$，$AB = 4$，$AC=\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$，$AB^{2}+BC^{2}=16 + 9=25=AC^{2}$，所以$\triangle ABC$是直角三角形，$\angle B = 90^{\circ}$。
根据正弦定义$\sin C=\frac{AB}{AC}$，将$AB = 4$，$AC = 5$代入得$\sin C=\frac{4}{5}$。
故答案为：$\frac{4}{5}$。

17. 已知$\angle A$是锐角,化简:$\sqrt{(\cos A - 1)^2}+\cos A= $.

1（如果以选择题形式出现，且选项中有代表数值1的选项，则填对应选项字母）

1. 根据二次根式的性质，$\sqrt{x^2} = |x|$，所以$\sqrt{(\cos A - 1)^2} = |\cos A - 1|$。
2. 因为$\angle A$是锐角，根据三角函数的性质，$0 ＜ \cos A ＜ 1$。
3. 所以$\cos A - 1 ＜ 0$，根据绝对值的定义，当$x ＜ 0$时，$|x| = -x$，所以$|\cos A - 1| = 1 - \cos A$。
4. 将$|\cos A - 1|$替换为$1 - \cos A$，原式变为$1 - \cos A + \cos A$。
5. 化简得$1$。

18. 某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点$C$处有生命迹象,已知废墟一侧地面上两探测点$A$,$B相距3\ m$,探测线与地面的夹角分别是$30^\circ和60^\circ$(如图),试确定生命所在点$C$的深度(结果精确到$0.1\ m$,参考数据:$\sqrt{2}\approx1.41$,$\sqrt{3}\approx1.73$).

生命所在点$C$的深度约为$2.6$米。

过点$C$作$CD\perp AB$交$AB$的延长线于点$D$。
设$CD = x$米。
在$Rt\triangle ACD$中，$\angle A = 30^{\circ}$，因为$\tan A=\frac{CD}{AD}$，所以$AD=\frac{CD}{\tan30^{\circ}}=\sqrt{3}x$。
在$Rt\triangle BCD$中，$\angle CBD = 60^{\circ}$，因为$\tan\angle CBD=\frac{CD}{BD}$，所以$BD=\frac{x}{\tan60^{\circ}}=\frac{x}{\sqrt{3}}$。
已知$AB = 3$米，且$AD - BD = AB$，即$\sqrt{3}x-\frac{x}{\sqrt{3}} = 3$。
对$\sqrt{3}x-\frac{x}{\sqrt{3}} = 3$进行求解：
$\begin{aligned}\sqrt{3}x-\frac{x}{\sqrt{3}}&= 3\\frac{3x - x}{\sqrt{3}}&= 3\\frac{2x}{\sqrt{3}}&= 3\\2x&= 3\sqrt{3}\\x&=\frac{3\sqrt{3}}{2}\end{aligned}$
将$\sqrt{3}\approx1.73$代入$x=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，可得$x=\frac{3×1.73}{2}= 2.595\approx2.6$（米）。