【例题】如图,在▱ABCD中,点E为CD的中点,AE的延长线交BC的延长线于F.若$S_{\triangle ECF}= 4\ cm^2$.求▱ABCD的面积.
【思路点拨】由E是CD的中点,不难证明$\triangle AED\cong\triangle FEC$.故知$S_{□ ABCD}= S_{\triangle FAB}$.
【解答】
【学法点睛】如果$\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'$,那么$\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle A'B'C'}}= \left(\frac{AB}{A'B'}\right)^2= \left(\frac{AC}{A'C'}\right)^2= \left(\frac{BC}{B'C'}\right)^2= k^2$(k为相似比).即相似三角形或多边形面积的比等于相似比的平方.

16cm²

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AB=CD，AD=BC。
∵AD//BC，∴∠DAE=∠CFE，∠ADE=∠FCE。
∵E为CD中点，∴DE=CE。
在△AED和△FEC中，
$\begin{cases} ∠DAE=∠CFE \\ ∠AED=∠FEC \\ DE=CE \end{cases}$，
∴△AED≌△FEC（AAS）。
∴S△AED=S△FEC=4cm²，AD=FC。
∵AD=BC，∴FC=BC，∴BF=BC+FC=2BC=2AD。
∵AD//BF，∴△FAB与△FEC相似，相似比为$\frac{BF}{FC}=\frac{2AD}{AD}=2$。
∴$\frac{S_{\triangle FAB}}{S_{\triangle FEC}}=2^2=4$，∴S△FAB=4×4=16cm²。
∵S□ABCD=S△FAB（由全等知S△AED=S△FEC，故S□ABCD=S四边形ABCE+S△AED=S四边形ABCE+S△FEC=S△FAB），
∴S□ABCD=16cm²。

1. 如图①,梯形ABCD的对角线交于O点,有以下四个结论:①$\triangle AOB\sim\triangle COD$;②$\triangle AOD\sim\triangle ACB$;③$S_{\triangle DOC}:S_{\triangle AOD}= DC:AB$;④$S_{\triangle AOD}= S_{\triangle BOC}$.其中一定正确的有 ()

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

C

①∵梯形ABCD中AB//CD，∴∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠ODC，∴△AOB∽△COD，①正确；
②△AOD与△ACB，∠OAD≠∠CAB，对应边不成比例，不相似，②错误；
③△DOC与△AOD共顶点D，底边OC、OA在直线AC上，面积比=OC:OA，由①知△AOB∽△COD，AO:OC=AB:CD，∴OC:OA=CD:AB，即S△DOC:S△AOD=DC:AB，③正确；
④△ABC与△ABD同底AB，等高（AB//CD，C、D到AB距离相等），∴S△ABC=S△ABD，两三角形同减S△AOB，得S△AOD=S△BOC，④正确；
正确的有①③④，共3个。

2. 如图②,把$\triangle ABC$沿AB平移到$\triangle A'B'C'$的位置,它们的重叠部分的面积是$\triangle ABC$面积的一半,若$AB= \sqrt{2}$,则此三角形移动的距离$AA'$是 ()

A.$\sqrt{2}-1$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.1
D.$\frac{1}{2}$

A

由于$\triangle ABC$沿$AB$平移到$\triangle A'B'C'$，重叠部分$\triangle A'BC$与$\triangle ABC$相似。设$AA'=x$，则$A'B = \sqrt{2} - x$。
重叠部分面积是$\triangle ABC$面积的一半，故相似比为$\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
根据相似三角形对应边成比例，有：
$\frac{A'B}{AB} = \frac{\sqrt{2} - x}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
解得：
$\sqrt{2} - x = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2} = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \sqrt{2} - 1$

3. 如图③,在等边$\triangle ABC$中,D为AB边的中点,$DE\perp AC$于E,$EF// AB$交BC于F点,则$\triangle EFC与\triangle ABC$的面积之比为 ()

A.3:4
B.9:16
C.4:5
D.16:25

B

设等边$\triangle ABC$的边长为$2a$。
因为$D$是$AB$的中点，所以$AD=DB=a$。
在等边$\triangle ABC$中，$\angle A=60°$。
因为$DE\perp AC$，所以在直角$\triangle ADE$中，$\angle ADE=30°$。
根据$30°-60°-90°$三角形的性质，可得$AE=\frac{1}{2}AD=\frac{a}{2}$，$DE=\frac{\sqrt{3}}{2}a$。
因为$EF// AB$，所以$\triangle CEF\sim\triangle CAB$。
因为$AE=\frac{a}{2}$，$AC=2a$，所以$CE=AC-AE=2a-\frac{a}{2}=\frac{3a}{2}$。
相似三角形的对应边成比例，所以$\frac{CE}{CA}=\frac{\frac{3a}{2}}{2a}=\frac{3}{4}$。
相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以$\frac{S_{\triangle EFC}}{S_{\triangle ABC}}=\left(\frac{CE}{CA}\right)^2=\left(\frac{3}{4}\right)^2=\frac{9}{16}$。

4. 如图④,在▱ABCD中,E为CD上一点,$DE:EC= 2:3$,连接AE,DB,EB,且AE,BD交于点F,则$S_{\triangle DEF}:S_{\triangle EBF}:S_{\triangle ABF}$等于 ()
A.4:10:25
B.4:9:25
C.2:3:5
D.2:5:25

A

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD。
∵DE:EC=2:3，设DE=2k，EC=3k，则CD=DE+EC=5k，
∴AB=CD=5k。
∵AB//CD，
∴∠BAF=∠DEF，∠ABF=∠EDF，
∴△ABF∽△EDF。
相似比为AB:DE=5k:2k=5:2，故面积比S△ABF:S△DEF=5²:2²=25:4，设S△DEF=4x，则S△ABF=25x。
∵△ABF∽△EDF，
∴对应边AF:EF=AB:DE=5:2。
△ABF与△EBF共顶点B，底边AF、EF在同一直线AE上，高相等，故面积比S△ABF:S△EBF=AF:EF=5:2。
∵S△ABF=25x，
∴25x:S△EBF=5:2，解得S△EBF=10x。
∴S△DEF:S△EBF:S△ABF=4x:10x:25x=4:10:25。