1. 0指数幂
当 $ a \neq 0 $ 时,$ a^{0} = $.

1

根据0指数幂的定义，当底数$a\neq0$时，$a^0 = 1$。

2. 负整数指数幂
一般地,当 $ n $ 是正整数时,$ a^{-n} = $($ a \neq 0 $).
即 $ a^{-n} $($ a \neq 0 $)是的倒数.

$\frac{1}{a^{n}}$；$a^{n}$

根据负整数指数幂的定义，当n是正整数时，$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$（$a\neq0$），即$a^{-n}$（$a\neq0$）是$a^{n}$的倒数。

3. 整数指数幂的运算性质
(1)$ a^{m} \cdot a^{n} = $($ m $,$ n $ 是整数)；
(2)$ (a^{m})^{n} = $($ m $,$ n $ 是整数)；
(3)$ (ab)^{n} = $($ n $ 是整数)；
(4)$ a^{m} ÷ a^{n} = $($ a \neq 0 $,$ m $,$ n $ 是整数)；
(5)$ (\frac{a}{b})^{n} = $($ n $ 是整数).

(1)$a^{m + n}$；(2)$a^{mn}$；(3)$a^{n}b^{n}$；(4)$a^{m - n}$；(5)$\frac{a^{n}}{b^{n}}$

根据整数指数幂的运算性质直接可得：
(1)同底数幂相乘，底数不变，指数相加，所以$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$；
(2)幂的乘方，底数不变，指数相乘，所以$(a^{m})^{n} = a^{mn}$；
(3)积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，所以$(ab)^{n} = a^{n}b^{n}$；
(4)同底数幂相除，底数不变，指数相减，所以$a^{m} ÷ a^{n} = a^{m - n}$；
(5)分式的乘方，等于把分子、分母分别乘方，所以$(\frac{a}{b})^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}$。

【例1】下列运算正确的是()
A.$ b^{-2} = -b^{2} $
B.$ x^{3} ÷ x^{6} = \frac{1}{x^{3}} $
C.$ y^{2} + y^{-2} = 0 $
D.$ (-\frac{1}{a})^{-2} = \frac{1}{a^{2}} $

B

A：根据负整数指数幂的定义，$b^{-2} = \frac{1}{b^{2}}$，与 $-b^{2}$ 不相等，所以 A 选项错误。
B：根据同底数幂的除法法则，$x^{3} ÷ x^{6} = x^{3-6} = x^{-3} = \frac{1}{x^{3}}$，所以 B 选项正确。
C：$y^{2}$ 和 $y^{-2} = \frac{1}{y^{2}}$ 不是同类项，不能合并，所以 C 选项错误。
D：根据积的乘方运算法则，$(-\frac{1}{a})^{-2} = \frac{1}{(-\frac{1}{a})^{2}} = \frac{1}{\frac{1}{a^{2}}} = a^{2}$，与 $\frac{1}{a^{2}}$ 不相等，所以 D 选项错误。

【例2】计算：
$ (\frac{1}{5})^{-1} - (\pi - 3)^{0} + (-2^{3}) - 4 × | - 1 | $.

$(\frac{1}{5})^{-1} = 5$（根据负整数指数幂的定义，$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$，所以$(\frac{1}{5})^{-1} = 5$），
$(\pi - 3)^{0} = 1$（任何非零数的零次幂都是1），
$-2^{3} = -8$（注意负号在指数运算之后应用），
$4 × | - 1| = 4 × 1 = 4$（绝对值运算，$|-1| = 1$），
将以上结果代入原式，得到：
$5 - 1 - 8 - 4 = -8$，
故答案为：$-8$。

1. 计算 $ (\frac{1}{3})^{-2} $ 的结果是()
A.$ - 9 $
B.$ 9 $
C.$ \frac{1}{9} $
D.$ - \frac{1}{9} $

B

根据负整数指数幂的定义，$a^{-p} = \frac{1}{a^p}$（$a \neq 0$，$p$为正整数），则$(\frac{1}{3})^{-2}=\frac{1}{(\frac{1}{3})^{2}}$。
又因为$(\frac{1}{3})^{2}=\frac{1}{9}$，所以$\frac{1}{(\frac{1}{3})^{2}} = \frac{1}{\frac{1}{9}}=9$。

2. 若 $ (x - 1)^{0} + (2x - 3)^{-2} $ 有意义,则 $ x $ 的取值范围是()
A.$ x \neq 0 $
B.$ x \neq 1 $
C.$ x \neq \frac{3}{2} $
D.$ x \neq 1 $ 且 $ x \neq \frac{3}{2} $

D

对于 $(x - 1)^0$，要求 $x - 1 \neq 0$，即 $x \neq 1$。
对于 $(2x - 3)^{-2}$，要求 $2x - 3 \neq 0$，即 $x \neq \frac{3}{2}$。
因此，$x$ 需同时满足 $x \neq 1$ 且 $x \neq \frac{3}{2}$。

3. 已知 $ a = (-\frac{1}{2})^{0} $,$ b = (\frac{1}{2})^{-1} $,$ c = (-3)^{-2} $,那么 $ a $,$ b $,$ c $ 的大小关系为()
A.$ a ＞ b ＞ c $
B.$ c ＞ a ＞ b $
C.$ b ＞ a ＞ c $
D.$ c ＞ b ＞ a $

C

计算 $a$，$b$，$c$的值：
根据零指数幂的定义，任何非零数的0次幂都等于1，所以 $a = (-\frac{1}{2})^{0} = 1$。
根据负整数指数幂的定义，$(\frac{1}{2})^{-1} = 2$，所以 $b = 2$。
同样，根据负整数指数幂的定义，$(-3)^{-2} = \frac{1}{(-3)^{2}} = \frac{1}{9}$，所以 $c = \frac{1}{9}$。
比较 $a$，$b$，$c$ 的大小：
已知 $b = 2$，$a = 1$，$c = \frac{1}{9}$，显然 $b ＞ a ＞ c$。

4. 计算：
(1)(2024·德阳)$ - 1^{-2025} + (3.14 - \pi)^{0} - (-\frac{1}{3})^{-2} - (-2)^{3} $；
(2)$ |2023| - \sqrt[3]{8} + (\pi - 3.14)^{0} - (-\frac{1}{6})^{-1} $；
(3)$ 3a^{-2}b \cdot 2ab^{-3} ÷ (-3ab^{-1})^{3} $.

(1)
$-1^{-2025}= -1$；
$(3.14 - \pi)^{0}=1$；
$(-\frac{1}{3})^{-2}=9$；
$(-2)^{3}=-8$，则$-(-\frac{1}{3})^{-2} - (-2)^{3}$的这部分计算里，$-9 - (-8)=-9 + 8=-1$；
原式$=-1 + 1-9 + 8=-1$。
(2)
$\vert2023\vert = 2023$；
$\sqrt[3]{8}=2$；
$(\pi - 3.14)^{0}=1$；
$(-\frac{1}{6})^{-1}=-6$；
原式$=2023 - 2 + 1+6=2028$。
(3)
$3a^{-2}b\cdot2ab^{-3}=\frac{3b}{a^{2}}×\frac{2a}{b^{3}}=\frac{6}{ab^{2}}$；
$(-3ab^{-1})^{3}=(-3)^{3}× a^{3}×(b^{-1})^{3}=-27a^{3}b^{-3}=-\frac{27a^{3}}{b^{3}}$；
$\frac{6}{ab^{2}}÷(-\frac{27a^{3}}{b^{3}})=\frac{6}{ab^{2}}×(-\frac{b^{3}}{27a^{3}})=-\frac{2b}{9a^{4}}$。
综上，答案依次为：(1)$-1$；(2)$2028$；(3)$-\frac{2b}{9a^{4}}$。