例 5 如图 10,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle B = 63^{\circ}$,$\angle C = 51^{\circ}$,$AD$ 是 $BC$ 边上的高,$AE$ 是 $\angle BAC$ 的平分线,则 $\angle DAE= $。

解法一：因为 $AE$ 是 $\angle BAC$ 的平分线,$\angle B = 63^{\circ}$,$\angle C = 51^{\circ}$,所以 $\angle CAE= \frac{1}{2}\angle BAC= \frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle B-\angle C)= \frac{1}{2}×(180^{\circ}-63^{\circ}-51^{\circ})= 33^{\circ}$。又因为 $AD$ 是 $BC$ 边上的高,所以 $\angle ADC = 90^{\circ}$,则 $\angle DAC = 90^{\circ}-\angle C = 90^{\circ}-51^{\circ}=39^{\circ}$,故 $\angle DAE= \angle DAC-\angle CAE = 39^{\circ}-33^{\circ}=6^{\circ}$。
故答案为 $6^{\circ}$。
解法二：$\angle DAE= \frac{1}{2}(\angle B-\angle C)= \frac{1}{2}(63^{\circ}-51^{\circ})= \frac{1}{2}×12^{\circ}=6^{\circ}$。

$6^{\circ}$

因为$AD$是$BC$边上的高，所以$\angle ADC = 90^{\circ}$。
在$\triangle ABC$中，$\angle B = 63^{\circ}$，$\angle C = 51^{\circ}$，
根据三角形内角和为$180^{\circ}$，
可得$\angle BAC=180^{\circ}-\angle B - \angle C=180^{\circ}-63^{\circ}-51^{\circ}=66^{\circ}$。
因为$AE$是$\angle BAC$的平分线，
所以$\angle CAE=\frac{1}{2}\angle BAC = 33^{\circ}$。
在$\triangle ADC$中，$\angle ADC = 90^{\circ}$，$\angle C = 51^{\circ}$，
所以$\angle DAC=180^{\circ}-90^{\circ}-51^{\circ}=39^{\circ}$。
则$\angle DAE=\angle DAC-\angle CAE=39^{\circ}-33^{\circ}=6^{\circ}$。

例 6 如图 11,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle C = 80^{\circ}$,在 $AC$ 边上取一点 $D$,使得 $\angle A= \angle ABD$,将 $\triangle ABD$ 沿 $BD$ 翻折得 $\triangle A'BD$,此时 $A'D// BC$,求 $\angle ABC$ 的度数。

解：设 $\angle A= \angle ABD = x$。
$\because \triangle ABD$ 沿 $BD$ 翻折得 $\triangle A'BD$,$\therefore \angle A'= \angle A = x$,$\angle A'BD= \angle ABD = x$。$\because A'D// BC$,$\therefore \angle CBA'= \angle A' = x$。$\therefore \angle CBA= \angle CBA'+\angle A'BD+\angle ABD = 3x$。
由三角形内角和定理,得 $\angle A+\angle ABC+\angle C = 180^{\circ}$,即 $x + 3x+80^{\circ}=180^{\circ}$,解得 $x = 25^{\circ}$,$\therefore \angle ABC = 3x = 3×25^{\circ}=75^{\circ}$。

解：设$\angle A = \angle ABD = x$。
$\because \triangle ABD$沿$BD$翻折得$\triangle A'BD$，
$\therefore \angle A' = \angle A = x$，$\angle A'BD = \angle ABD = x$。
$\because A'D // BC$，
$\therefore \angle CBA' = \angle A' = x$。
$\therefore \angle CBA = \angle CBA' + \angle A'BD + \angle ABD = x + x + x = 3x$。
在$\triangle ABC$中，由三角形内角和定理得：
$\angle A + \angle ABC + \angle C = 180°$，
即$x + 3x + 80° = 180°$，
解得$x = 25°$。
$\therefore \angle ABC = 3x = 3 × 25° = 75°$。

1. 已知三角形的两边长分别为 $a$ 和 $b(a＞b)$,三角形的第三边长 $x$ 的取值范围为 $2＜x＜6$,则 $a^{b}= $。

16

根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
已知两边长分别为$a$和$b(a \gt b)$，第三边长$x$的取值范围为$2 \lt x \lt 6$，所以$a - b$为两边之差，$a + b$为两边之和，则有$a - b \lt x\lt a + b$，即$a - b = 2$，$a + b = 6$。
联立方程组$\begin{cases}a - b = 2\\a + b = 6\end{cases}$，将两式相加可得$2a = 8$，解得$a = 4$；把$a = 4$代入$a - b = 2$，可得$4 - b = 2$，解得$b = 2$。
所以$a^b = 4^2=16$。

2. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AD$,$AE$ 分别是 $BC$ 边上的中线和高,$AE = 2\mathrm{cm}$,$S_{\triangle ABD}= 1.5\mathrm{cm}^{2}$,则 $BC$ 的长为。

3cm（本题为填空题，答案为3cm ，按照要求这里填数值3（单位已在题中给出））

已知AD是BC边上的中线，则BD = DC，$S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ADC}，$且$S_{\triangle ABC}=2S_{\triangle ABD}。$
根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2} × $底×高，对于$\triangle ABC，$以BC为底，AE为高，则$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2} × BC× AE。$
已知$S_{\triangle ABD}=1.5cm^2，$所以$S_{\triangle ABC}=2×1.5 = 3cm^2，$又已知AE = 2cm，将$S_{\triangle ABC}=3cm^2，$AE = 2cm代入$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2} × BC× AE$中，可得$3=\frac{1}{2}× BC×2，$即BC = 3cm。

3. 等腰三角形的一个外角等于 $80^{\circ}$,则这个三角形的内角分别为。

$100^{\circ},40^{\circ},40^{\circ}$

等腰三角形的一个外角为$80^{\circ}$，相邻内角为$180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}$。
若$100^{\circ}$为顶角，则底角为$\frac{180^{\circ} -100^{\circ}}{2} =40^{\circ}$（一般三角形内角和为$180^{\circ}$），此时三个内角为$100^{\circ},40^{\circ},40^{\circ}$。
若$100^{\circ}$为底角，则两个底角和为$200^{\circ} ＞ 180^{\circ}$，不成立。
故这个三角形的内角分别为$100^{\circ},40^{\circ},40^{\circ}$。

4. 如图,在平面直角坐标系中,$A$,$B$ 分别是 $x$ 轴、$y$ 轴上的两个动点,$\angle BAO$ 的平分线与 $\angle ABO$ 的外角平分线相交于点 $C$,在 $A$,$B$ 的运动过程中,$\angle C$ 的度数是一个定值,这个定值为。

45°

设∠BAO=2α，∠ABO=2β，在Rt△AOB中，2α+2β=90°，则α+β=45°。
AC平分∠BAO，故∠BAC=α。
∠ABO的外角为180°-2β，其平分线BC分外角为(180°-2β)/2=90°-β，即∠CBD=90°-β（D为AB延长线上一点）。
∵A、B、D共线，∴∠ABC=180°-∠CBD=180°-(90°-β)=90°+β。
在△ABC中，∠C=180°-∠BAC-∠ABC=180°-α-(90°+β)=90°-(α+β)=90°-45°=45°。