例1 (1)$(-\frac {3}{2})^{-2}$；(2)$(a^{-2})^{-3}· (bc^{-1})^{3}$.

(1)
$(-\frac {3}{2})^{-2}$
$=\frac{1}{(-\frac{3}{2} )^{2}}$
$=\frac{1}{\frac{9}{4}}$
$=\frac{4}{9}$
(2)
$(a^{-2})^{-3}· (bc^{-1})^{3}$
$=a^{(-2)×(-3)}· b^{3}· c^{-3}$
$=a^{6}· b^{3}·\frac{1}{c^{3}}$
$=\frac{a^{6}b^{3}}{c^{3}}$

例2 计算：

(1)$(a^{-1}b^{2}c^{-3})^{3}$；
(2)$a^{-2}b^{3}· (a^{2}b^{-2})^{-3}$；
(3)$(2ab^{2}c^{-3})^{-2}÷(a^{-2}b)^{2}$；
(4)$(3×10^{-5})^{2}÷(3×10^{-2})^{2}$.

(1) $(a^{-1}b^{2}c^{-3})^{3}$
$=(a^{-1})^{3}·(b^{2})^{3}·(c^{-3})^{3}$
$=a^{-3}b^{6}c^{-9}$
$=\dfrac{b^{6}}{a^{3}c^{9}}$
(2) $a^{-2}b^{3}·(a^{2}b^{-2})^{-3}$
$=a^{-2}b^{3}·(a^{2})^{-3}·(b^{-2})^{-3}$
$=a^{-2}b^{3}· a^{-6}b^{6}$
$=a^{-2-6}b^{3+6}$
$=a^{-8}b^{9}$
$=\dfrac{b^{9}}{a^{8}}$
(3) $(2ab^{2}c^{-3})^{-2}÷(a^{-2}b)^{2}$
$=[2^{-2}a^{-2}(b^{2})^{-2}(c^{-3})^{-2}]÷[(a^{-2})^{2}b^{2}]$
$=\left(\dfrac{1}{4}a^{-2}b^{-4}c^{6}\right)÷(a^{-4}b^{2})$
$=\dfrac{1}{4}a^{-2-(-4)}b^{-4-2}c^{6}$
$=\dfrac{1}{4}a^{2}b^{-6}c^{6}$
$=\dfrac{a^{2}c^{6}}{4b^{6}}$
(4) $(3×10^{-5})^{2}÷(3×10^{-2})^{2}$
$=(9×10^{-10})÷(9×10^{-4})$
$=(9÷9)×10^{-10-(-4)}$
$=1×10^{-6}$
$=\dfrac{1}{10^{6}}$

例3 已知$x^{2}-3x+1= 0$,求$x^{2}+x^{-2}$的值.

$x^{2} - 3x + 1 = 0$，
因为$x\neq0$（若$x=0$，则原方程为$1=0$，显然不成立），
等式两边同除以$x$得：
$x - 3 + \frac{1}{x} = 0$，
即$x + \frac{1}{x} = 3$，
等式两边平方：
$(x + \frac{1}{x})^2 = 3^2$
$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 9$
$x^2 + \frac{1}{x^2} = 7$
因为$x^{-2} = \frac{1}{x^2}$，
所以$x^2 + x^{-2} = 7$，
所以，$x^2 + x^{-2}$的值为7。

计算：
(1)$2^{-4}×(-2^{4})$；(2)$(-\frac {1}{2})^{-3}×3^{-1}$；
(3)$(\frac {3y}{2x})^{-2}$； (4)$4ab^{2}÷(-2a^{-2}b)^{3}$.

(1)
$2^{-4} × (-2^{4})$
$=\frac{1}{2^{4}} × (-16)$
$=\frac{1}{16} × (-16)$
$=-1$
(2)
$(-\frac{1}{2})^{-3} × 3^{-1}$
$=(-2^{3}) × \frac{1}{3}$
$=-8 × \frac{1}{3}$
$=-\frac{8}{3}$
(3)
$(\frac{3y}{2x})^{-2}$
$=(\frac{2x}{3y})^{2}$
$=\frac{4x^{2}}{9y^{2}}$
(4)
$4ab^{2} ÷ (-2a^{-2}b)^{3}$
$=4ab^{2} ÷ (-8a^{-6}b^{3})$
$=4ab^{2} × (-\frac{1}{8}a^{6}b^{-3})$
$=-\frac{1}{2}a^{7}b^{-1}$
$=-\frac{a^{7}}{2b}$