1. 第一关：魔法老人出了两道填空题,请你和小智一起完成吧。
(1) 如图,1个正方形有4个顶点,2个正方形有7个顶点,3个正方形有10个顶点。像这样画下去,10个正方形有()个顶点。
(2) 观察下面的图形,把算式补充完整。
$\begin{aligned}2^{2}-1^{2}&= ()+()\\&=()\end{aligned} $
$\begin{aligned}3^{2}-2^{2}&= ()+()\\&=()\end{aligned} $
$\begin{aligned}4^{2}-3^{2}&= ()+()\\&=()\end{aligned} $
利用你发现的规律直接写出算式的结果：$10^{2}-9^{2}= ()$；$100^{2}-99^{2}= ()$。

(1) 31
(2) $2^2 - 1^2 = 2 + 1 = 3$
$3^2 - 2^2 = 3 + 2 = 5$
$4^2 - 3^2 = 4 + 3 = 7$
$10^2 - 9^2 = 19$
$100^2 - 99^2 = 199$

(1) 设正方形的个数为 $n$，顶点的个数为 $a_n$。
根据题意：
$n=1$，$a_1=4$；
$n=2$，$a_2=7$；
$n=3$，$a_3=10$。
可以看出，每增加一个正方形，顶点数增加3个。
因此，顶点数的通项公式为：
$a_n = 4 + 3(n-1) = 3n + 1$
当 $n=10$ 时：
$a_{10} = 3 × 10 + 1 = 31$
所以，10个正方形有31个顶点。
(2) 观察图形和算式：
$2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3 = 2 + 1$
$3^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5 = 3 + 2$
$4^2 - 3^2 = 16 - 9 = 7 = 4 + 3$
可以发现规律：
$n^2 - (n-1)^2 = n + (n-1) = 2n - 1$
利用规律：
$10^2 - 9^2 = 10 + 9 = 19$
$100^2 - 99^2 = 100 + 99 = 199$

2. 第二关：新角度古希腊著名的毕达哥拉斯学派经常把“形”与“数”联系在一起。请你和小智一起解答下面这道题。如图是用“形”来表示“数”。请你认真观察,第1幅图的点数为1,第2幅图的点数为5,第3幅图的点数为9,依次排下去。

(1) 第10幅图的点数是()。 (2) 第n幅图的点数是()。

(1) 37
(2) $4n - 3$

3. 第三关：和小智一起照样子接着画一画,填一填,并回答问题。(每个小正方形的边长是1)

(1) 照这样画下去,第8个图形中小正方形有()个,大正方形的周长是()；第16个图形中小正方形有()个,大正方形的周长是()。
(2) 大正方形包含小正方形的个数与大正方形的周长有什么关系？

(1)
第8个图形中小正方形有 $8^2 = 64$ 个,
大正方形的周长是 $8 × 4 = 32$；
第16个图形中小正方形有 $16^2 = 256$ 个,
大正方形的周长是 $16 × 4 = 64$。
(2)
大正方形包含小正方形的个数为 $n^2$，
大正方形的周长为 $4n$，
其中 $n$ 为大正方形的边长单位数。

4. 第四关：和小智一起看图数角。

(1) 把算式补充完整。

(2) 对照图形和算式,你发现了什么规律？

(3) 你能利用规律直接算出下图中一共有多少个角吗？

(1)
$1 + 2 = 3$；
$1 + 2 + 3 = 6$；
$1 + 2 + 3 + 4 = 10$。
(2)
规律：若有$n$条射线从同一点引出，角的总数为$1 + 2 + 3 + ··· + (n - 1)=\frac{n(n - 1)}{2}$。
(3)
对于有$7$条射线从同一点引出的图形，角的总数为$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6+7=\frac{8×7}{2}=28$。