1. 抛物线 $ y = -x^{2} + 2x - 1 $ 与 $ x $ 轴的交点有()
A.$ 0 $ 个
B.$ 1 $ 个
C.$ 2 $ 个
D.无法确定

B

令 $ y = 0 $，则方程为 $ -x^{2} + 2x - 1 = 0 $，整理得 $ x^{2} - 2x + 1 = 0 $。判别式 $ \Delta = (-2)^2 - 4×1×1 = 4 - 4 = 0 $，所以方程有两个相等的实数根，即抛物线与 $ x $ 轴有 1 个交点。

2. 二次函数 $ y = x^{2} - ax + b $ 的图象如图所示,对称轴为直线 $ x = 1 $,与 $ x $ 轴交于 $ A,B $ 两点,与 $ y $ 轴交于点 $ C $,顶点为 $ D $,且点 $ A $ 的坐标为 $ (-1,0) $。则下列结论不正确的是()

A.$ a = 2 $
B.图象的顶点坐标 $ D $ 为 $ (1,-4) $
C.当 $ x ＜ -1 $ 或 $ x ＞ 3 $ 时,$ y ＞ 0 $
D.当 $ x ＞ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大

D

由二次函数对称轴公式得，对称轴$x = -\frac{-a}{2} = 1$，解得$a = 2$，故选项A正确。
已知点$A(-1,0)$在函数图象上，将$a = 2$，点$A(-1,0)$代入$y = x^{2}-ax + b$中，
可得$0 = 1 + 2 + b$，解得$b = - 3$，
所以二次函数为$y = x^{2}-2x - 3$。
将二次函数化为顶点式$y=(x - 1)^{2}-4$，所以顶点$D$的坐标为$(1,-4)$，故选项B正确。
当$y = 0$时，$x^{2}-2x - 3 = 0$，
因式分解得$(x + 1)(x - 3)=0$，
解得$x_{1}=-1$，$x_{2}=3$，
所以抛物线与$x$轴的交点为$A(-1,0)$，$B(3,0)$，
由图象可知，当$x \lt - 1$或$x \gt 3$时，$y \gt 0$，故选项C正确。
由顶点式$y=(x - 1)^{2}-4$可知，抛物线开口向上，对称轴为$x = 1$，
所以当$x \gt 1$时，$y$随$x$的增大而增大，当$x\lt1$时，$y$随$x$的增大而减小，故选项D错误。

3. 如图,抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0) $ 的图象的一部分经过点 $ A(-1,0) $,且对称轴是直线 $ x = 2 $,则一元二次方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 $ 的根是 。

$-1$和$5$

由题意知，抛物线经过点$A(-1,0)$，即当$x = -1$时，$y = 0$，所以$x = -1$是方程$ax^{2} + bx + c = 0$的一个根。
又因为抛物线的对称轴是直线$x = 2$，根据抛物线的对称性，另一个根与$x = -1$关于$x = 2$对称。
设另一个根为$x_1$，则有$\frac{-1 + x_1}{2} = 2$，
解得$x_1 = 5$。
所以，一元二次方程$ax^{2} + bx + c = 0$的根是$-1$和$5$。

4. 二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0) $ 的图象经过点 $ (1,-2) $,且对称轴为直线 $ x = 2 $,则方程 $ ax^{2} + bx + c + 2 = 0 $ 的解为 。

$x_1 = 1$，$x_2 = 3$

方程$ax^2 + bx + c + 2 = 0$等价于$ax^2 + bx + c = -2$，即求二次函数$y = ax^2 + bx + c$与直线$y = -2$交点的横坐标。
已知二次函数过点$(1, -2)$，故$x = 1$是一个解。
又抛物线对称轴为$x = 2$，根据对称性，与$x = 1$关于$x = 2$对称的点的横坐标为$2 + (2 - 1) = 3$。
因此方程的解为$x_1 = 1$，$x_2 = 3$。

5. (2023 兴隆期末)已知二次函数 $ y = x^{2} - 4x + 3 $。
(1)二次函数 $ y = x^{2} - 4x + 3 $ 的图象与 $ x $ 轴的交点坐标是,与 $ y $ 轴的交点坐标是,顶点坐标是；
(2)在下面的平面直角坐标系中,画出二次函数 $ y = x^{2} - 4x + 3 $ 的图象；

(3)当 $ 1 ＜ x ＜ 4 $ 时,结合函数图象,直接写出 $ y $ 的取值范围：。

(1)
与$x$轴的交点坐标：
令$y = 0$，即$x^{2}-4x + 3 = 0$，
因式分解得$(x - 1)(x - 3)=0$，
解得$x_{1}=1$，$x_{2}=3$，
所以与$x$轴的交点坐标是$(1,0)$，$(3,0)$。
与$y$轴的交点坐标：
令$x = 0$，则$y=0^{2}-4×0 + 3=3$，
所以与$y$轴的交点坐标是$(0,3)$。
顶点坐标：
对于二次函数$y=ax^{2}+bx+c(a\neq0)$，其顶点坐标公式为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^{2}}{4a})$，
在$y = x^{2}-4x + 3$中，$a = 1$，$b=-4$，$c = 3$，
$-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2×1}=2$，
$\frac{4ac - b^{2}}{4a}=\frac{4×1×3-(-4)^{2}}{4×1}=\frac{12 - 16}{4}=-1$，
所以顶点坐标是$(2,-1)$。
(3)
由二次函数$y=x^{2}-4x + 3$，其对称轴为$x = 2$，
当$x = 2$时，$y=-1$；
当$x = 1$或$x = 4$时，$y=1^{2}-4×1 + 3=0$或$y=4^{2}-4×4+3 = 3$，
当$1\lt x\lt4$时，$y$的取值范围是$-1\leqslant y\lt3$。
答题卡填写内容：
(1) $(1,0)$，$(3,0)$；$(0,3)$；$(2,-1)$
(3) $-1\leqslant y\lt3$

6. (2022 营口期中)二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0) $ 与一次函数 $ y = x + k(k \neq 0) $ 的图象如图所示。
(1)求方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 $ 的两个根；
(2)$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小时,写出自变量 $ x $ 的取值范围；
(3)写出不等式 $ ax^{2} + bx + c - x - k ＜ 0 $ 的解集；
(4)若方程 $ ax^{2} + bx + c = m $ 有两个不相等的实数根,求 $ m $ 的取值范围。

(1) 方程$ax^{2}+bx+c=0$的根为二次函数$y=ax^{2}+bx+c$与$x$轴交点的横坐标，由图像及计算得交点为$(-3,0)$和$(-1,0)$，故根为$x_{1}=-3$，$x_{2}=-1$。
(2) 二次函数开口向上，对称轴为$x=-2$，当$x＜-2$时，$y$随$x$增大而减小，故取值范围为$x＜-2$。
(3) 不等式$ax^{2}+bx+c -x -k＜0$即$ax^{2}+bx+c＜x+k$，二次函数与一次函数交点为$(-3,0)$和$(-0.5,2.5)$，由图像知二次函数值小于一次函数值时$x$的范围为$-3＜x＜-0.5$。
(4) 方程$ax^{2}+bx+c=m$有两个不相等实根，即直线$y=m$与抛物线有两个交点，抛物线顶点纵坐标为$-2$且开口向上，故$m＞-2$。
(1)$x_{1}=-3$，$x_{2}=-1$；(2)$x＜-2$；(3)$-3＜x＜-0.5$；(4)$m＞-2$。