1. (2024 大庆期中)如图,AB 是⊙O 的直径,$\overset{\frown}{BC}= \overset{\frown}{CD}= \overset{\frown}{DE}$,若∠COD = $36^{\circ}$,则∠AOE = ()
A.$72.5^{\circ}$
B.$75^{\circ}$
C.$72^{\circ}$
D.$73^{\circ}$

C

本题可根据在同圆或等圆中，相等的圆弧所对的圆心角相等，求出$\angle BOC$、$\angle DOE$的度数，再结合平角的定义求出$\angle AOE$的度数。
步骤一：根据圆弧相等得出对应圆心角相等
已知在⊙$O$中，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$，根据在同圆或等圆中，相等的圆弧所对的圆心角相等，可得$\angle BOC = \angle COD = \angle DOE$。
步骤二：求出$\angle BOC$和$\angle DOE$的度数
因为$\angle COD = 36^{\circ}$，所以$\angle BOC = \angle DOE = 36^{\circ}$。
步骤三：根据平角的定义求出$\angle AOE$的度数
因为$AB$是⊙$O$的直径，所以$\angle AOB = 180^{\circ}$，即$\angle AOE + \angle EOD + \angle DOC + \angle COB = 180^{\circ}$。
将$\angle BOC = \angle DOE = \angle COD = 36^{\circ}$代入上式可得：
$\angle AOE=180^{\circ}-\angle EOD - \angle DOC - \angle COB=180^{\circ}- 36^{\circ}- 36^{\circ}- 36^{\circ}=72^{\circ}$

2. (2024 上海阶段练习)下列命题中,正确的是()
A.相等的弧所对的圆心角相等
B.圆心到弦的距离相等,则这两条弦相等
C.相等的圆心角所对的弦相等
D.同圆中,如果两条弦相等,那么两条弦所对的弧相等

A

A. 根据圆的性质，相等的弧所对的圆心角相等，所以A选项正确；
B. 在同一个圆或等圆中，如果两条弦的圆心到弦的距离相等，则这两条弦相等，题目没有说明同圆或等圆，所以B选项错误；
C. 在同一个圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，题目没有说明同圆或等圆，所以C选项错误；
D. 在同一个圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦所对的优弧和劣弧分别相等，题目没有说明是优弧还是劣弧，所以D选项错误。

3. (2024 西安模拟)如图,AB,CD 是⊙O 的弦,且 AB = CD,若∠BOD = $84^{\circ}$,则∠ACO = ()

A.$42^{\circ}$
B.$44^{\circ}$
C.$46^{\circ}$
D.$48^{\circ}$

D

连接OA，∵AB=CD，∴弧AB=弧CD，∴∠AOB=∠COD。设∠AOB=∠COD=α，∠BOC=β，则∠BOD=∠BOC+∠COD=β+α=84°。∠AOC=∠AOB+∠BOC=α+β=84°。∵OA=OC，∴△AOC为等腰三角形，∠ACO=(180°-∠AOC)/2=(180°-84°)/2=48°。

4. (2024 合肥阶段练习)如图,在⊙O 中,$\overset{\frown}{AB}= \overset{\frown}{AC}$,∠A = $36^{\circ}$,则∠B = ()

A.$63^{\circ}$
B.$68^{\circ}$
C.$72^{\circ}$
D.$76^{\circ}$

C

由于$\overset{\frown}{AB} =\overset{\frown}{AC}$，根据等弧对等弦，可得$AB = AC$，所以$\triangle ABC$是等腰三角形。
已知$\angle A = 36^{\circ}$，在等腰$\triangle ABC$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，且$\angle B=\angle C$，则$\angle B=\frac{1}{2}×(180^{\circ}-\angle A)=\frac{1}{2}×(180 - 36)^{\circ}=72^{\circ}$。

5. (2023 潍坊期中)如图,在⊙O 中,∠A = $30^{\circ}$,劣弧 AB 的度数是$^{\circ}$.

120

连接OB，∵OA=OB，∴∠B=∠A=30°，∴∠AOB=180°-∠A-∠B=120°，∴劣弧AB的度数是120°

6. (2023 延边阶段练习改编)如图,在⊙O 中,AB,CD 是两条直径,弦 CE // AB,若$\overset{\frown}{EC}$所对的圆心角的度数是 $40^{\circ}$,求∠BOD 的度数.

连接OE。
∵$\overset{\frown}{EC}$所对的圆心角的度数是$40^{\circ}$，
∴∠COE=$40^{\circ}$。
∵OE=OC，
∴∠OCE=∠OEC。
∵∠COE+∠OCE+∠OEC=$180^{\circ}$，
∴∠OCE=$\frac{180^{\circ}-40^{\circ}}{2}=70^{\circ}$。
∵CE//AB，
∴∠AOC=∠OCE=$70^{\circ}$。
∵AB是直径，
∴∠AOB=$180^{\circ}$。
∵CD是直径，
∴∠COD=$180^{\circ}$。
∵∠AOC+∠BOC=$180^{\circ}$，∠BOD+∠BOC=$180^{\circ}$，
∴∠BOD=∠AOC=$70^{\circ}$。
答：∠BOD的度数为$70^{\circ}$。

新知梳理
1. 圆周角的定义：顶点在上,并且两边都与圆的角叫做圆周角。
思考 满足哪两个条件的角叫圆周角？
2. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
思考(1)证明圆周角定理为什么要分三种情况？(2)同圆或等圆中,两个圆心角、两个圆周角、两条弧、两条弦中若有一组量相等,相对应的其余各组量有什么关系？
3. 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。
思考 圆内接四边形的一个外角与它相邻内角的对角的数量关系是什么？

1. 圆；相交；顶点在圆上，并且两边都与圆相交。2. 一半；(1)因为圆心与圆周角的位置关系有三种：圆心在圆周角的一边上、圆心在圆周角的内部、圆心在圆周角的外部；(2)它们所对应的其余各组量也分别相等。3. 相等。

1. 圆周角定义需满足顶点位置和两边与圆的关系，顶点在圆上，两边都与圆相交。思考部分根据定义总结为顶点在圆上且两边都与圆相交。
2. 圆周角定理核心是圆周角与圆心角的数量关系，为一半。思考(1)因圆心与圆周角位置有圆心在角的一边上、内部、外部三种情况，需分情况证明。思考(2)同圆或等圆中一组量相等，利用圆心角、弧、弦关系及圆周角定理，其余对应量相等。
3. 圆内接四边形性质为对角互补，外角与相邻内角互补，故外角等于相邻内角的对角。