探究二 利用中心对称的性质作图
例2 如图,在方格纸中,已知格点△ABC和点O.画出与△ABC关于点O成中心对称的△A′B′C′.

名师导引
(1)画一个点关于某点(对称中心)的对称点的画法是：①连接这个点与对称中心；②延长一倍得到的端点即是对称点.
(2)画一个图形关于某点的对称图形的画法是：①先找出图形中的关键点；②画出各关键点关于某点的对称点；③顺次连接各对称点.
(3)已知两个图形中心对称,对称点连线的交点即是对称中心.
变式训练 (2024渝北区期中)如图,在平面直角坐标系中,若△ABC与$△A_1B_1C_1$关于点E成中心对称,则对称中心点E的坐标是()

A. (0,0)
B. (3,0)
C. (3,－1)
D. (－3,1)

C

由图可知，点A(3,2)与A₁(3,-4)关于点E对称，点B(1,1)与B₁(5,-3)关于点E对称。根据中心对称性质，对称中心是对称点连线的中点。
对于A和A₁：横坐标$(3+3)÷2 = 3$，纵坐标$(2+(-4))÷2=-1$；
对于B和B₁：横坐标$(1+5)÷2 = 3$，纵坐标$(1+(-3))÷2=-1$。
故对称中心E的坐标为(3,-1)。

1. (2024长寿区阶段练习)如图,△DEC与△ABC关于点C成中心对称,AB＝6,AC＝4,∠CAB＝90°,则AE＝()
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10

2. (2024保定期中)如图,△ABC与△DEF成中心对称,点O是对称中心,则下列结论不正确的是()
A. 点A与点D是对应点
B. ∠ACB＝∠DEF
C. BO＝EO
D. AB//DE

1.D 2.B

1. ∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称，∴AC=CD=4，∠CAB=∠CDE=90°，AB=DE=6。∴AD=AC+CD=8。在Rt△ADE中，AE=√(AD²+DE²)=√(8²+6²)=10。
2. ∵△ABC与△DEF成中心对称，点O是对称中心，∴点A与点D、点B与点E、点C与点F是对应点，BO=EO，AB//DE，∠ACB=∠DFE，故∠ACB=∠DEF不正确。

3. (2024新乡期中)如图,△ABC与△ADE关于点A成中心对称,若AC＝5,那么CE的长为.

4. (2024永川区期中)如图,BO是等腰三角形ABC的底边AC的中线,AC＝2,AB＝4,△PQC与△BOC关于点C中心对称,连接AP,则AP的长是.

【解析】：3. ∵△ABC与△ADE关于点A成中心对称，∴点A是CE的中点，即AC=AE。∵AC=5，∴AE=5，∴CE=AC+AE=5+5=10。
【答案】：10
【解析】：4. ∵△ABC是等腰三角形，底边AC=2，BO是中线，∴AO=OC=1，BO⊥AC。在Rt△ABO中，AB=4，AO=1，由勾股定理得BO=√(AB²-AO²)=√(4²-1²)=√15。∵△PQC与△BOC关于点C中心对称，∴BC=PC=AB=4，OC=QC=1，且点B与点P关于点C对称。设O为原点，AC所在直线为x轴，A(-1,0)，C(1,0)，B(0,√15)。点B关于C对称的点P坐标为(2,-√15)。则AP=√[(2-(-1))²+(-√15-0)²]=√(3²+(√15)²)=√(9+15)=√24=2√6。
【答案】：2√6