8. 若二次函数$y= ax^{2}-2ax+c的图象经过点(-1,0)$,则方程$ax^{2}-2ax+c= 0$的解为()
A.$x_{1}= -3,x_{2}= -1$
B.$x_{1}= 1,x_{2}= 3$
C.$x_{1}= -1,x_{2}= 3$
D.$x_{1}= -3,x_{2}= 1$

C

解：二次函数$y = ax^{2}-2ax + c$的对称轴为直线$x=-\frac{-2a}{2a}=1$。
因为函数图象经过点$(-1,0)$，设该点关于对称轴$x = 1$的对称点为$(x,0)$，则$\frac{-1 + x}{2}=1$，解得$x = 3$。
所以方程$ax^{2}-2ax + c = 0$的解为$x_{1}=-1$，$x_{2}=3$。
C

9. 已知二次函数$y= ax^{2}-(3a+1)x+3(a≠0)$,下列说法正确的是()
A.点$(1,2)$在该函数的图象上
B.当$a= 1且-1≤x≤3$时,$0≤y≤8$
C.该函数的图象与x轴一定有交点
D.当$a＞0$时,该函数图象的对称轴一定在直线$x= \frac{3}{2}$的左侧

C

A. 当$x=1$时，$y=a-(3a+1)+3=-2a+2$，若点$(1,2)$在图象上，则$-2a+2=2$，解得$a=0$，与$a≠0$矛盾，故A错误。
B. 当$a=1$时，$y=x^{2}-4x+3=(x-2)^{2}-1$，对称轴为$x=2$。当$x=-1$时，$y=8$；当$x=2$时，$y=-1$；当$x=3$时，$y=0$。则$-1≤y≤8$，故B错误。
C. 令$y=0$，则$ax^{2}-(3a+1)x+3=0$，$\Delta=(3a+1)^{2}-12a=9a^{2}-6a+1=(3a-1)^{2}≥0$，故函数图象与$x$轴一定有交点，C正确。
D. 对称轴$x=\frac{3a+1}{2a}=\frac{3}{2}+\frac{1}{2a}$，当$a＞0$时，$\frac{1}{2a}＞0$，则$x＞\frac{3}{2}$，故D错误。
答案：C

10. 二次函数$y= -x^{2}+bx+c$的图象如图所示,若点$A(x_{1},y_{1})$,$B(x_{2},y_{2})$在此函数图象上,且$x_{1}＜x_{2}＜1$,则$y_{1}与y_{2}$的大小关系是()

A.$y_{1}≤y_{2}$
B.$y_{1}＜y_{2}$
C.$y_{1}≥y_{2}$
D.$y_{1}＞y_{2}$

B

二次函数$y = -x^{2}+bx + c$的二次项系数为$-1\lt0$，抛物线开口向下。由图可知对称轴为直线$x = 1$。当$x\lt1$时，$y$随$x$的增大而增大。因为$x_{1}\lt x_{2}\lt1$，所以$y_{1}\lt y_{2}$。
B

11. 已知二次函数$y= -x^{2}+2bx+c$,当$x＞1$时,y的值随x的增大而减小,则实数b的取值范围是.

$b\leq1$

二次函数$y = -x^{2}+2bx + c$的对称轴为直线$x=-\frac{2b}{2×(-1)}=b$。
因为二次项系数$-1\lt0$，所以抛物线开口向下，在对称轴右侧，$y$随$x$的增大而减小。
已知当$x\gt1$时，$y$的值随$x$的增大而减小，所以对称轴$x = b$应在$x = 1$或其左侧，即$b\leq1$。
$b\leq1$

12. 已知抛物线$y= x^{2}-2(k+2)x+2(k-1)的对称轴为直线x= 3$,求它与x轴的两个交点和顶点围成的三角形的面积.

1. 对于抛物线$y = x^2 - 2(k + 2)x + 2(k - 1)$，其中$a = 1$，$b = -2(k + 2)$，对称轴为$x = -\frac{b}{2a}$。
2. 已知对称轴$x = 3$，则$3 = -\frac{-2(k + 2)}{2×1}$，化简得$3 = k + 2$，解得$k = 1$。
3. 将$k = 1$代入抛物线方程，得$y = x^2 - 6x$。
4. 令$y = 0$，解方程$x^2 - 6x = 0$，即$x(x - 6) = 0$，得与$x$轴交点为$(0, 0)$和$(6, 0)$。
5. 顶点横坐标为对称轴$x = 3$，代入$y = x^2 - 6x$，得$y = 3^2 - 6×3 = -9$，顶点坐标为$(3, -9)$。
6. 两交点间距离为$|6 - 0| = 6$（底），顶点到$x$轴距离为$|-9| = 9$（高），三角形面积$S = \frac{1}{2}×6×9 = 27$。
27