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1. 有下列说法:①有理数与无理数的商是无理数。②无理数与无理数的和是无理数。③无理数与有理数的商是无理数。④无理数与有理数的积是无理数。其中正确的个数是(
A.1
B.2
C.3
D.4
A
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案
A
解析
①有理数为0时，商不存在或无意义，错误；
②例如$\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0$，0是有理数，错误；
③设无理数为$a$，有理数为$b(b\neq0)$，假设$\frac{a}{b}$是有理数，则$a = b×\frac{a}{b}$为有理数，矛盾，正确；
④有理数为0时，积为0，是有理数，错误。
正确的个数是1。
A
②例如$\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0$，0是有理数，错误；
③设无理数为$a$，有理数为$b(b\neq0)$，假设$\frac{a}{b}$是有理数，则$a = b×\frac{a}{b}$为有理数，矛盾，正确；
④有理数为0时，积为0，是有理数，错误。
正确的个数是1。
A
2. 估算$\sqrt{19}+2$的值在(
A.5和6之间
B.6和7之间
C.7和8之间
D.8和9之间
B
)A.5和6之间
B.6和7之间
C.7和8之间
D.8和9之间
答案
B
解析
因为$16＜19＜25$，所以$\sqrt{16}＜\sqrt{19}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{19}＜5$，则$4 + 2＜\sqrt{19}+2＜5 + 2$，$6＜\sqrt{19}+2＜7$。
B
B
3. $|\sqrt{6}-3|+|2-\sqrt{6}|$的值为(
A.5
B.$5-2\sqrt{6}$
C.1
D.$2\sqrt{6}-1$
C
)A.5
B.$5-2\sqrt{6}$
C.1
D.$2\sqrt{6}-1$
答案
C
解析
$\because \sqrt{6}\approx 2.45$，$\therefore \sqrt{6}-3＜0$，$2-\sqrt{6}＜0$，
$\therefore |\sqrt{6}-3|=3-\sqrt{6}$，$|2-\sqrt{6}|=\sqrt{6}-2$，
$\therefore |\sqrt{6}-3|+|2-\sqrt{6}|=3-\sqrt{6}+\sqrt{6}-2=1$，
C
$\therefore |\sqrt{6}-3|=3-\sqrt{6}$，$|2-\sqrt{6}|=\sqrt{6}-2$，
$\therefore |\sqrt{6}-3|+|2-\sqrt{6}|=3-\sqrt{6}+\sqrt{6}-2=1$，
C
4. a,b都是无理数,且$a+b= 6$,则a,b的值可以是
$a = \sqrt{2}$，$b = 6 - \sqrt{2}$（答案不唯一）
。答案
$a = \sqrt{2}$，$b = 6 - \sqrt{2}$（答案不唯一）
解析
$a = \sqrt{2}$，$b = 6 - \sqrt{2}$
5. 数轴上有两个点A,B,A,B分别表示实数$\sqrt{2}+1与\sqrt{2}-8$,则A,B两点之间的距离为
9
。答案
9
解析
$\because$ 点$A$表示实数$\sqrt{2}+1$，点$B$表示实数$\sqrt{2}-8$，$\sqrt{2}+1 ＞ \sqrt{2}-8$
$\therefore A$，$B$两点之间的距离为$(\sqrt{2}+1)-(\sqrt{2}-8)=\sqrt{2}+1 - \sqrt{2}+8=9$
9
$\therefore A$，$B$两点之间的距离为$(\sqrt{2}+1)-(\sqrt{2}-8)=\sqrt{2}+1 - \sqrt{2}+8=9$
9
6. 设x,y是有理数,且x,y满足等式$x^{2}+2y+\sqrt{2}y= 17-4\sqrt{2}$,求$x-y$的值。
答案
答题卡：
解：
由于$x$，$y$是有理数，且满足等式$x^{2} + 2y + \sqrt{2}y = 17 - 4\sqrt{2}$，
我们可以将等式两边的有理数部分和无理数部分分别相等，即：
$\begin{cases}x^{2} + 2y = 17, \\\sqrt{2}y = -4\sqrt{2}.\end{cases}$
从第二个方程我们可以解得：
$y = -4$，
将$y = -4$代入第一个方程，我们得到：
$x^{2} + 2×(-4) = 17$，
即$x^{2} = 25$，
解得$x = \pm 5$，
所以，我们得到两组解：
$\begin{cases}x = 5, \\y = -4.\end{cases}$
或
$\begin{cases}x = -5, \\y = -4.\end{cases}$
所以，$x - y = 5 - (-4) = 9$或$x - y = -5 - (-4) = -1$。
解：
由于$x$，$y$是有理数，且满足等式$x^{2} + 2y + \sqrt{2}y = 17 - 4\sqrt{2}$，
我们可以将等式两边的有理数部分和无理数部分分别相等，即：
$\begin{cases}x^{2} + 2y = 17, \\\sqrt{2}y = -4\sqrt{2}.\end{cases}$
从第二个方程我们可以解得：
$y = -4$，
将$y = -4$代入第一个方程，我们得到：
$x^{2} + 2×(-4) = 17$，
即$x^{2} = 25$，
解得$x = \pm 5$，
所以，我们得到两组解：
$\begin{cases}x = 5, \\y = -4.\end{cases}$
或
$\begin{cases}x = -5, \\y = -4.\end{cases}$
所以，$x - y = 5 - (-4) = 9$或$x - y = -5 - (-4) = -1$。
7. 计算:$\sqrt[3]{-8}-\sqrt{2}+(\sqrt{3})^{2}+|1-\sqrt{2}|$。
答案
$\sqrt[3]{-8} = -2$
$(\sqrt{3})^{2} = 3$
$|1-\sqrt{2}| = \sqrt{2} - 1$
原式$= -2 - \sqrt{2} + 3 + (\sqrt{2} - 1)$
$= -2 - \sqrt{2} + 3 + \sqrt{2} - 1$
$= 0$
$(\sqrt{3})^{2} = 3$
$|1-\sqrt{2}| = \sqrt{2} - 1$
原式$= -2 - \sqrt{2} + 3 + (\sqrt{2} - 1)$
$= -2 - \sqrt{2} + 3 + \sqrt{2} - 1$
$= 0$
8. 对于实数a,b,给出下列四个判断:①若$|a|= |b|$,则$\sqrt{a}= \sqrt{b}$。②若$|a|＜|b|$,则$a＜b$。③若$a= -b$,则$(-a)^{2}= b^{2}$。④若$\sqrt{a}= \sqrt{b}$,则$a= b$。其中正确的个数是(
A.3
B.2
C.1
D.0
B
)A.3
B.2
C.1
D.0
答案
B
解析
①当$a=-1$，$b=1$时，$|a|=|b|=1$，但$\sqrt{a}$无意义，故①错误；
②当$a=1$，$b=-2$时，$|a|=1\lt|b|=2$，但$a=1\gt b=-2$，故②错误；
③若$a=-b$，则$(-a)^{2}=(-(-b))^{2}=b^{2}$，故③正确；
④若$\sqrt{a}=\sqrt{b}$，则$a=b$，故④正确。
正确的有③④，共2个。
B
②当$a=1$，$b=-2$时，$|a|=1\lt|b|=2$，但$a=1\gt b=-2$，故②错误；
③若$a=-b$，则$(-a)^{2}=(-(-b))^{2}=b^{2}$，故③正确；
④若$\sqrt{a}=\sqrt{b}$，则$a=b$，故④正确。
正确的有③④，共2个。
B
