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12. 如图,在矩形 ABCD 中,E 是边 AB 的中点,连结 DE 交对角线 AC 于点 F,若AB= 4,AD= 3,则 CF 的长为
$\frac{10}{3}$
.答案
$\because$四边形ABCD是矩形，
$\therefore AB=CD=4$，$AD=BC=3$，$AB// CD$，$\angle ADC=90^\circ$。
$\therefore \angle FAE=\angle FCD$，$\angle FEA=\angle FDC$，
$\therefore \triangle AEF\sim\triangle CDF$，
$\therefore \frac{AF}{CF}=\frac{AE}{CD}$，
$\because$ E 是边 AB 的中点，
$\therefore AE=\frac{1}{2}AB=2$，
$\therefore \frac{AF}{CF}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
$\therefore \frac{CF}{AC}=\frac{2}{3}$。
$\because AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
$\therefore CF=\frac{2}{3}× 5=\frac{10}{3}$。
故答案为$\frac{10}{3}$。
$\therefore AB=CD=4$，$AD=BC=3$，$AB// CD$，$\angle ADC=90^\circ$。
$\therefore \angle FAE=\angle FCD$，$\angle FEA=\angle FDC$，
$\therefore \triangle AEF\sim\triangle CDF$，
$\therefore \frac{AF}{CF}=\frac{AE}{CD}$，
$\because$ E 是边 AB 的中点，
$\therefore AE=\frac{1}{2}AB=2$，
$\therefore \frac{AF}{CF}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
$\therefore \frac{CF}{AC}=\frac{2}{3}$。
$\because AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
$\therefore CF=\frac{2}{3}× 5=\frac{10}{3}$。
故答案为$\frac{10}{3}$。
13. 如图,在矩形 ABCD 中,AB= 3,BC= 5,P 是 BC 边上的一个动点(点 P 与点B,C 都不重合),现将△PCD 沿直线 PD 折叠,使点 C 落到点 F 处,过点 P 作∠BPF 的平分线交 AB 于点 E. 设 BP= x,BE= y,则下列图象中,能表示 y 与x 的函数关系的是(
C
)答案
C
解析
在矩形$ABCD$中，$\angle B=\angle C=90^\circ$，$AB=CD=3$，$BC=AD=5$，$BP=x$，则$PC=5 - x$。
由折叠性质，$\triangle PCD\cong\triangle PFD$，故$\angle CPD=\angle FPD$，$PF=PC=5 - x$。
因为$PE$平分$\angle BPF$，所以$\angle BPE=\angle FPE$。
由于$\angle BPC=180^\circ$，即$\angle BPE+\angle FPE+\angle FPD+\angle CPD=180^\circ$，可得$2(\angle FPE+\angle FPD)=180^\circ$，则$\angle EPD=90^\circ$，即$\angle EPC=90^\circ$。
所以$\angle BPE+\angle CPD=90^\circ$，又$\angle CPD+\angle CDP=90^\circ$，故$\angle BPE=\angle CDP$。
因此$\triangle EBP\sim\triangle PCD$（两角对应相等）。
根据相似三角形性质，$\frac{BE}{PC}=\frac{BP}{CD}$，即$\frac{y}{5 - x}=\frac{x}{3}$，整理得$y=-\frac{1}{3}x^2+\frac{5}{3}x$（$0 ＜ x ＜ 5$）。
该函数为开口向下的抛物线，对称轴为$x=\frac{5}{2}$，与选项C图象一致。
C
由折叠性质，$\triangle PCD\cong\triangle PFD$，故$\angle CPD=\angle FPD$，$PF=PC=5 - x$。
因为$PE$平分$\angle BPF$，所以$\angle BPE=\angle FPE$。
由于$\angle BPC=180^\circ$，即$\angle BPE+\angle FPE+\angle FPD+\angle CPD=180^\circ$，可得$2(\angle FPE+\angle FPD)=180^\circ$，则$\angle EPD=90^\circ$，即$\angle EPC=90^\circ$。
所以$\angle BPE+\angle CPD=90^\circ$，又$\angle CPD+\angle CDP=90^\circ$，故$\angle BPE=\angle CDP$。
因此$\triangle EBP\sim\triangle PCD$（两角对应相等）。
根据相似三角形性质，$\frac{BE}{PC}=\frac{BP}{CD}$，即$\frac{y}{5 - x}=\frac{x}{3}$，整理得$y=-\frac{1}{3}x^2+\frac{5}{3}x$（$0 ＜ x ＜ 5$）。
该函数为开口向下的抛物线，对称轴为$x=\frac{5}{2}$，与选项C图象一致。
C
14. 若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积,我们把这个三角形叫做比例三角形.
(1)已知△ABC 是比例三角形,AB= 2,BC= 3,请直接写出所有满足条件的AC 的长.
(2)如图,在四边形 ABCD 中,AD//BC,对角线 BD 平分∠ABC,∠BAC= ∠ADC. 求证:△ABC 是比例三角形.
(1)已知△ABC 是比例三角形,AB= 2,BC= 3,请直接写出所有满足条件的AC 的长.
(2)如图,在四边形 ABCD 中,AD//BC,对角线 BD 平分∠ABC,∠BAC= ∠ADC. 求证:△ABC 是比例三角形.
答案
(1)设AC=x，分三种情况：
①若$AB^2 = BC \cdot AC$，则$2^2 = 3x$，解得$x = \frac{4}{3}$；
②若$BC^2 = AB \cdot AC$，则$3^2 = 2x$，解得$x = \frac{9}{2}$；
③若$AC^2 = AB \cdot BC$，则$x^2 = 2 × 3 = 6$，解得$x = \sqrt{6}$（负值舍去）。
综上，AC的长为$\frac{4}{3}$，$\frac{9}{2}$，$\sqrt{6}$。
(2)证明：
∵AD//BC，∴∠ADB=∠DBC（两直线平行，内错角相等）。
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD（等角对等边）。
∵AD//BC，∴∠ADC+∠BCD=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵∠BAC=∠ADC，∴∠BAC+∠BCD=180°。
在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠ABC+∠ACB=∠BCD。
∵∠BCD=∠ACB+∠ACD，∴∠ABC=∠ACD。
在△ABC和△DCA中，∠BAC=∠ADC，∠ABC=∠ACD，∴△ABC∽△DCA（两角对应相等，两三角形相似）。
∴$\frac{BC}{CA} = \frac{AC}{DA}$（相似三角形对应边成比例）。
∵AB=AD，∴$\frac{BC}{CA} = \frac{AC}{AB}$，即$AC^2 = BC \cdot AB$。
∴△ABC是比例三角形。
①若$AB^2 = BC \cdot AC$，则$2^2 = 3x$，解得$x = \frac{4}{3}$；
②若$BC^2 = AB \cdot AC$，则$3^2 = 2x$，解得$x = \frac{9}{2}$；
③若$AC^2 = AB \cdot BC$，则$x^2 = 2 × 3 = 6$，解得$x = \sqrt{6}$（负值舍去）。
综上，AC的长为$\frac{4}{3}$，$\frac{9}{2}$，$\sqrt{6}$。
(2)证明：
∵AD//BC，∴∠ADB=∠DBC（两直线平行，内错角相等）。
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD（等角对等边）。
∵AD//BC，∴∠ADC+∠BCD=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵∠BAC=∠ADC，∴∠BAC+∠BCD=180°。
在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠ABC+∠ACB=∠BCD。
∵∠BCD=∠ACB+∠ACD，∴∠ABC=∠ACD。
在△ABC和△DCA中，∠BAC=∠ADC，∠ABC=∠ACD，∴△ABC∽△DCA（两角对应相等，两三角形相似）。
∴$\frac{BC}{CA} = \frac{AC}{DA}$（相似三角形对应边成比例）。
∵AB=AD，∴$\frac{BC}{CA} = \frac{AC}{AB}$，即$AC^2 = BC \cdot AB$。
∴△ABC是比例三角形。
