【例1】如图,在$\triangle ABC$中,$AD是BC$边上的高线,$CE是AB$边上的中线,且$DC = BE$,$DG\perp CE于点G$。求证：

(1)$G是CE$的中点。
(2)$\angle B= 2\angle BCE$。

证明：
（1）如图，连结$DE$，

因为在$Rt \bigtriangleup ABD$中，$E$为$AB$的中点，
所以$DE = BE$（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。
因为$DC = BE$，
所以$DE = DC$。
因为$DG \perp CE$于点$G$，
所以$G$是$CE$的中点（等腰三角形三线合一）。
（2）由（1）知$DE = BE$，所以$\angle B = \angle BDE$。
因为$DE = DC$，所以$\angle DEC = \angle DCE$。
因为$\angle BDE = \angle DEC + \angle DCE$，
所以$\angle B = 2\angle BCE$。

【例2】如图,在四边形$ABCD$中,$AC\perp BD于点E$,$BE = DE$,已知$AC = 10\space cm$,$BD = 8\space cm$,求阴影部分的面积。

解：
∵$AC\perp BD$，$BE = DE$，
由轴对称性可知，阴影部分的面积等于$\triangle ABC$的面积。
∵$AC = 10\space cm$，$BD = 8\space cm$，
∴$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC· BE$
$=\frac{1}{2}AC·\frac{BD}{2}$
$=\frac{1}{2}×10×\frac{8}{2}$
$= 20\space(cm^2)$
即阴影部分的面积为$20\space cm^2$。

【例3】如图,在等边$\triangle ABC$中,$AO是\triangle ABC$的角平分线,$D为AO$上一点,以$CD为一边且在CD下方作等边\triangle CDE$,连结$BE$。

(1)求证：$\triangle ACD\cong\triangle BCE$。
(2)延长$BE至点Q$,$P为BQ$上一点,连结$CP$,$CQ$,使$CP = CQ= 5$。若$BC = 8$,求$PQ$的长。

(1)证明见上；(2)6。

(1)证明：因为$\triangle ABC$与$\triangle DCE$是等边三角形，
所以$AC=BC$，$DC=EC$，$\angle ACB=\angle DCE=60°$，
所以$\angle ACD+\angle DCB=\angle ECB+\angle DCB=60°$，
所以$\angle ACD=\angle BCE$，
所以$\triangle ACD\cong\triangle BCE(SAS)$。
(2)解：过点$C$作$CH\perp BQ$于点$H$，
因为$\triangle ABC$是等边三角形，$AO$是角平分线，
所以$\angle DAC=30°$。
因为$\triangle ACD\cong\triangle BCE$，
所以$\angle PBC=\angle DAC=30°$，
在$Rt\triangle BHC$中，$CH=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4$。
因为$PC=CQ=5$，$CH=4$，
所以$PH=QH=\sqrt{PC^2-CH^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
所以$PQ=PH+QH=3+3=6$。