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巩固提升 已知$x^2 + x - 4 = 0$,求代数式$(\frac{2x - 1}{x + 1} - x + 1) ÷ \frac{x - 2}{x^2 + 2x + 1}$的值。
答案
$-4$
解析
解：
1. 化简代数式：
原式括号内通分：
$ \frac{2x - 1}{x + 1} - (x - 1) = \frac{2x - 1 - (x^2 - 1)}{x + 1} = \frac{2x - x^2}{x + 1} = \frac{-x(x - 2)}{x + 1} $
除法变乘法：
$ \frac{-x(x - 2)}{x + 1} ÷ \frac{x - 2}{(x + 1)^2} = \frac{-x(x - 2)}{x + 1} \cdot \frac{(x + 1)^2}{x - 2} = -x(x + 1) = -x^2 - x $
2. 代入已知条件：
由$x^2 + x - 4 = 0$得$x^2 + x = 4$，则$-x^2 - x = -(x^2 + x) = -4$。
1. 化简代数式：
原式括号内通分：
$ \frac{2x - 1}{x + 1} - (x - 1) = \frac{2x - 1 - (x^2 - 1)}{x + 1} = \frac{2x - x^2}{x + 1} = \frac{-x(x - 2)}{x + 1} $
除法变乘法：
$ \frac{-x(x - 2)}{x + 1} ÷ \frac{x - 2}{(x + 1)^2} = \frac{-x(x - 2)}{x + 1} \cdot \frac{(x + 1)^2}{x - 2} = -x(x + 1) = -x^2 - x $
2. 代入已知条件：
由$x^2 + x - 4 = 0$得$x^2 + x = 4$，则$-x^2 - x = -(x^2 + x) = -4$。
例 4 解方程：$\frac{3}{x^2 - 1} - \frac{x + 1}{x - 1} = -1$。
名师导引 去分母时注意不要漏乘,分子为多项式时注意把分数线当成括号使用,分式方程解完要验根。
名师导引 去分母时注意不要漏乘,分子为多项式时注意把分数线当成括号使用,分式方程解完要验根。
答案
$x = \frac{1}{2}$
解析
解：方程两边同乘$(x + 1)(x - 1)$，得
$3 - (x + 1)^2 = - (x^2 - 1)$
展开并化简：
左边：$3 - (x^2 + 2x + 1) = 3 - x^2 - 2x - 1 = -x^2 - 2x + 2$
右边：$-x^2 + 1$
整理得：$-x^2 - 2x + 2 = -x^2 + 1$
移项合并：$-2x = -1$
解得：$x = \frac{1}{2}$
检验：当$x = \frac{1}{2}$时，$(x + 1)(x - 1) = (\frac{3}{2})(-\frac{1}{2}) = -\frac{3}{4} \neq 0$
所以原方程的解为$x = \frac{1}{2}$
$3 - (x + 1)^2 = - (x^2 - 1)$
展开并化简：
左边：$3 - (x^2 + 2x + 1) = 3 - x^2 - 2x - 1 = -x^2 - 2x + 2$
右边：$-x^2 + 1$
整理得：$-x^2 - 2x + 2 = -x^2 + 1$
移项合并：$-2x = -1$
解得：$x = \frac{1}{2}$
检验：当$x = \frac{1}{2}$时，$(x + 1)(x - 1) = (\frac{3}{2})(-\frac{1}{2}) = -\frac{3}{4} \neq 0$
所以原方程的解为$x = \frac{1}{2}$
巩固提升 解方程：$\frac{1}{x^2 - x} = \frac{2}{x^2 - 1}$。
答案
1. 因式分解分母：$x^2 - x = x(x - 1)$，$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$，最简公分母为$x(x - 1)(x + 1)$。
2. 去分母：方程两边乘$x(x - 1)(x + 1)$，得$x + 1 = 2x$。
3. 解整式方程：$x + 1 = 2x$，解得$x = 1$。
4. 检验：当$x = 1$时，$x(x - 1)(x + 1) = 0$，$x = 1$是增根。
5. 结论：原方程无解。
2. 去分母：方程两边乘$x(x - 1)(x + 1)$，得$x + 1 = 2x$。
3. 解整式方程：$x + 1 = 2x$，解得$x = 1$。
4. 检验：当$x = 1$时，$x(x - 1)(x + 1) = 0$，$x = 1$是增根。
5. 结论：原方程无解。
例 5 “母亲节”前夕,某花店用$16000$元购进一批礼盒鲜花,上市后很快销售一空. 花店又用$7500$元购进一批礼盒鲜花. 已知第二批鲜花的盒数是第一批的$\frac{1}{2}$,且每盒鲜花的进价比第一批低$10$元. 第二批鲜花的进价是每盒多少元？
名师导引 列分式方程解应用题注意双检。
名师导引 列分式方程解应用题注意双检。
答案
设第二批鲜花的进价是每盒$x$元，则第一批鲜花的进价是每盒$(x + 10)$元。
根据题意，第二批盒数是第一批的$\frac{1}{2}$，可得：
$\frac{7500}{x} = \frac{1}{2} × \frac{16000}{x + 10}$
化简方程：
$\frac{7500}{x} = \frac{8000}{x + 10}$
交叉相乘：
$7500(x + 10) = 8000x$
展开并移项：
$7500x + 75000 = 8000x$
$500x = 75000$
$x = 150$
检验：当$x = 150$时，$x \neq 0$，$x + 10 = 160 \neq 0$，分母不为$0$，且符合实际意义。
答：第二批鲜花的进价是每盒$150$元。
根据题意，第二批盒数是第一批的$\frac{1}{2}$，可得：
$\frac{7500}{x} = \frac{1}{2} × \frac{16000}{x + 10}$
化简方程：
$\frac{7500}{x} = \frac{8000}{x + 10}$
交叉相乘：
$7500(x + 10) = 8000x$
展开并移项：
$7500x + 75000 = 8000x$
$500x = 75000$
$x = 150$
检验：当$x = 150$时，$x \neq 0$，$x + 10 = 160 \neq 0$，分母不为$0$，且符合实际意义。
答：第二批鲜花的进价是每盒$150$元。
巩固提升 某校学生进行$9$千米的徒步拉练活动. 在大部队出发$2小时后另一部分同学在老师的带领下以大部队的3$倍的速度追赶,结果两队同时到达目的地,两队行走路线相同,则大部队的平均速度是
3千米/时（或 3）
。答案
$3$千米/时（或 3）
解析
设大部队的平均速度为$x$千米/时，则另一部分同学的速度为$3x$千米/时。
大部队行走$9$千米所需时间为$\frac{9}{x}$小时。
另一部分同学在大部队出发$2$小时后开始追赶，所以他们行走的时间为$\frac{9}{3x}$小时，并且他们比大部队少用了$2$小时，所以有方程：
$\frac{9}{x} - \frac{9}{3x} = 2$，
化简得：
$\frac{9}{x} - \frac{3}{x} = 2$，
$\frac{6}{x} = 2$，
解得：
$x = 3$，
经检验，$x = 3$是原方程的解且符合题意。
大部队行走$9$千米所需时间为$\frac{9}{x}$小时。
另一部分同学在大部队出发$2$小时后开始追赶，所以他们行走的时间为$\frac{9}{3x}$小时，并且他们比大部队少用了$2$小时，所以有方程：
$\frac{9}{x} - \frac{9}{3x} = 2$，
化简得：
$\frac{9}{x} - \frac{3}{x} = 2$，
$\frac{6}{x} = 2$，
解得：
$x = 3$，
经检验，$x = 3$是原方程的解且符合题意。
1. 某种芯片每个探针单元的面积为$0.000000106cm^2$,$0.000000106$用科学记数法表示为(
A.$1.06 × 10^{-7}$
B.$1.06 × 10^{-6}$
C.$10.6 × 10^{-6}$
D.$0.16 × 10^{-7}$
A
)A.$1.06 × 10^{-7}$
B.$1.06 × 10^{-6}$
C.$10.6 × 10^{-6}$
D.$0.16 × 10^{-7}$
答案
A
解析
科学记数法表示较小数时，一般形式为$a×10^{-n}$，其中$1≤|a|＜10$，$n$为由原数左边起第一个不为零的数字前面的$0$的个数所决定。$0.000000106$左边起第一个不为零的数字为$1$，它前面有$7$个$0$，所以$n=7$，$a=1.06$，即$0.000000106=1.06×10^{-7}$。
2. 如果分式$\frac{1}{x + 2}$在实数范围内有意义,则$x$的取值范围是(
A.$x \geq -2$
B.一切实数
C.$x \neq -2$
D.$x = -2$
C
)A.$x \geq -2$
B.一切实数
C.$x \neq -2$
D.$x = -2$
答案
C
解析
分式$\frac{1}{x + 2}$在实数范围内有意义的条件是分母不为零，即$x + 2 \neq 0$，解得$x \neq -2$。
3. 某厂接到加工$720$件衣服的订单,每天做$48$件正好能按时完成. 后客户要求提前$5$天交货,则每天应多做多少件？设每天应多做$x$件,则$x$应满足的方程为(
A.$\frac{720}{48} - \frac{720}{48 + x} = 5$
B.$\frac{720}{48} + 5 = \frac{720}{48 + x}$
C.$\frac{720}{48} - \frac{720}{x} = 5$
D.$\frac{720}{48 + x} - \frac{720}{48} = 5$
A
)A.$\frac{720}{48} - \frac{720}{48 + x} = 5$
B.$\frac{720}{48} + 5 = \frac{720}{48 + x}$
C.$\frac{720}{48} - \frac{720}{x} = 5$
D.$\frac{720}{48 + x} - \frac{720}{48} = 5$
答案
A
解析
设每天应多做$x$件，原每天做$48$件，需$\frac{720}{48}$天完成。
实际每天做$48 + x$件，需$\frac{720}{48 + x}$天完成。
根据客户要求提前$5$天交货，原时间减去实际时间等于$5$天，即：
$\frac{720}{48} - \frac{720}{48 + x} = 5$
实际每天做$48 + x$件，需$\frac{720}{48 + x}$天完成。
根据客户要求提前$5$天交货，原时间减去实际时间等于$5$天，即：
$\frac{720}{48} - \frac{720}{48 + x} = 5$
4. 关于$x的分式方程\frac{m + 4}{2x - 1} = 1$的解为非负数,则$m$的取值范围是(
A.$m \geq -5$
B.$m \geq -5且m \neq -4$
C.$m ＞ -5$
D.$m ＞ -5且m \neq -4$
B
)A.$m \geq -5$
B.$m \geq -5且m \neq -4$
C.$m ＞ -5$
D.$m ＞ -5且m \neq -4$
答案
B
解析
首先解方程 $\frac{m + 4}{2x - 1} = 1$，得：
$m + 4 = 2x - 1$，
$2x = m + 5$，
$x = \frac{m + 5}{2}$。
由题意，方程的解为非负数，即：
$\frac{m + 5}{2} \geq 0$，
$m + 5 \geq 0$，
$m \geq -5$。
同时，分母 $2x - 1 \neq 0$，即：
$2 × \frac{m + 5}{2} - 1 \neq 0$，
$m + 5 - 1 \neq 0$，
$m + 4 \neq 0$，
$m \neq -4$。
综上，$m \geq -5$ 且 $m \neq -4$。
$m + 4 = 2x - 1$，
$2x = m + 5$，
$x = \frac{m + 5}{2}$。
由题意，方程的解为非负数，即：
$\frac{m + 5}{2} \geq 0$，
$m + 5 \geq 0$，
$m \geq -5$。
同时，分母 $2x - 1 \neq 0$，即：
$2 × \frac{m + 5}{2} - 1 \neq 0$，
$m + 5 - 1 \neq 0$，
$m + 4 \neq 0$，
$m \neq -4$。
综上，$m \geq -5$ 且 $m \neq -4$。
5. 计算：$-2^2 + | -5 | - (3 - \pi)^0 - (\frac{1}{2})^{-3}$ =
$-8$
。答案
$-8$
解析
首先计算乘方：$-2^2 = -4$（注意负号在平方之外）。
接着计算绝对值：$|-5| = 5$。
然后计算零指数幂：$(3 - \pi)^0 = 1$（任何非零数的零次幂都是1）。
最后计算负整数指数幂：$(\frac{1}{2})^{-3} = 2^3 = 8$。
将以上结果代入原式，得到：
$-4 + 5 - 1 - 8 = -8$。
接着计算绝对值：$|-5| = 5$。
然后计算零指数幂：$(3 - \pi)^0 = 1$（任何非零数的零次幂都是1）。
最后计算负整数指数幂：$(\frac{1}{2})^{-3} = 2^3 = 8$。
将以上结果代入原式，得到：
$-4 + 5 - 1 - 8 = -8$。
