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例 2 通分：
(1) $\frac{a}{mt}$ 与 $\frac{3b}{mn}$；
(2) $\frac{5}{2xy^{2}}$ 与 $\frac{x - y}{3x^{2}y}$；
(3) $\frac{1}{(a - b)^{2}}$ 与 $\frac{a}{a^{2} - b^{2}}$；
(4) $\frac{b - a}{3a + 6b}$ 与 $\frac{ab}{2a^{2} + 4ab}$.
名师导引 分式通分时,首先要准确找出各个分母的最简公分母,然后应用分式的基本性质将异分母化成同分母.
(1) $\frac{a}{mt}$ 与 $\frac{3b}{mn}$；
(2) $\frac{5}{2xy^{2}}$ 与 $\frac{x - y}{3x^{2}y}$；
(3) $\frac{1}{(a - b)^{2}}$ 与 $\frac{a}{a^{2} - b^{2}}$；
(4) $\frac{b - a}{3a + 6b}$ 与 $\frac{ab}{2a^{2} + 4ab}$.
名师导引 分式通分时,首先要准确找出各个分母的最简公分母,然后应用分式的基本性质将异分母化成同分母.
答案
(1)最简公分母为$mnt$，$\frac{a}{mt}=\frac{an}{mnt}$，$\frac{3b}{mn}=\frac{3bt}{mnt}$；
(2)最简公分母为$6x^{2}y^{2}$，$\frac{5}{2xy^{2}}=\frac{15x}{6x^{2}y^{2}}$，$\frac{x - y}{3x^{2}y}=\frac{2y(x - y)}{6x^{2}y^{2}}=\frac{2xy - 2y^{2}}{6x^{2}y^{2}}$；
(3)最简公分母为$(a - b)^{2}(a + b)$，$\frac{1}{(a - b)^{2}}=\frac{a + b}{(a - b)^{2}(a + b)}$，$\frac{a}{a^{2}-b^{2}}=\frac{a}{(a - b)(a + b)}=\frac{a(a - b)}{(a - b)^{2}(a + b)}=\frac{a^{2}-ab}{(a - b)^{2}(a + b)}$；
(4)最简公分母为$6a(a + 2b)$，$\frac{b - a}{3a + 6b}=\frac{b - a}{3(a + 2b)}=\frac{2a(b - a)}{6a(a + 2b)}=\frac{2ab - 2a^{2}}{6a(a + 2b)}$，$\frac{ab}{2a^{2}+4ab}=\frac{ab}{2a(a + 2b)}=\frac{3ab}{6a(a + 2b)}$。
(2)最简公分母为$6x^{2}y^{2}$，$\frac{5}{2xy^{2}}=\frac{15x}{6x^{2}y^{2}}$，$\frac{x - y}{3x^{2}y}=\frac{2y(x - y)}{6x^{2}y^{2}}=\frac{2xy - 2y^{2}}{6x^{2}y^{2}}$；
(3)最简公分母为$(a - b)^{2}(a + b)$，$\frac{1}{(a - b)^{2}}=\frac{a + b}{(a - b)^{2}(a + b)}$，$\frac{a}{a^{2}-b^{2}}=\frac{a}{(a - b)(a + b)}=\frac{a(a - b)}{(a - b)^{2}(a + b)}=\frac{a^{2}-ab}{(a - b)^{2}(a + b)}$；
(4)最简公分母为$6a(a + 2b)$，$\frac{b - a}{3a + 6b}=\frac{b - a}{3(a + 2b)}=\frac{2a(b - a)}{6a(a + 2b)}=\frac{2ab - 2a^{2}}{6a(a + 2b)}$，$\frac{ab}{2a^{2}+4ab}=\frac{ab}{2a(a + 2b)}=\frac{3ab}{6a(a + 2b)}$。
变式训练 通分：
(1) $\frac{3x}{5y^{2}z}$,$\frac{4z}{7x^{2}y}$,$-\frac{5y}{2xz^{2}}$；
(2) $\frac{x + y}{5x^{2} - 5y^{2}}$,$\frac{1}{2(x + y)^{2}}$.
(1) $\frac{3x}{5y^{2}z}$,$\frac{4z}{7x^{2}y}$,$-\frac{5y}{2xz^{2}}$；
(2) $\frac{x + y}{5x^{2} - 5y^{2}}$,$\frac{1}{2(x + y)^{2}}$.
答案
(1)最简公分母为$70x^{2}y^{2}z^{2}$
$\frac{3x}{5y^{2}z}=\frac{3x\cdot14x^{2}z}{5y^{2}z\cdot14x^{2}z}=\frac{42x^{3}z}{70x^{2}y^{2}z^{2}}$
$\frac{4z}{7x^{2}y}=\frac{4z\cdot10yz^{2}}{7x^{2}y\cdot10yz^{2}}=\frac{40yz^{3}}{70x^{2}y^{2}z^{2}}$
$-\frac{5y}{2xz^{2}}=-\frac{5y\cdot35xy^{2}}{2xz^{2}\cdot35xy^{2}}=-\frac{175xy^{3}}{70x^{2}y^{2}z^{2}}$
(2)对分母因式分解：$5x^{2}-5y^{2}=5(x-y)(x+y)$，最简公分母为$10(x-y)(x+y)^{2}$
$\frac{x+y}{5x^{2}-5y^{2}}=\frac{x+y}{5(x-y)(x+y)}=\frac{2(x+y)^{2}}{10(x-y)(x+y)^{2}}$
$\frac{1}{2(x+y)^{2}}=\frac{5(x-y)}{2(x+y)^{2}\cdot5(x-y)}=\frac{5(x-y)}{10(x-y)(x+y)^{2}}$
$\frac{3x}{5y^{2}z}=\frac{3x\cdot14x^{2}z}{5y^{2}z\cdot14x^{2}z}=\frac{42x^{3}z}{70x^{2}y^{2}z^{2}}$
$\frac{4z}{7x^{2}y}=\frac{4z\cdot10yz^{2}}{7x^{2}y\cdot10yz^{2}}=\frac{40yz^{3}}{70x^{2}y^{2}z^{2}}$
$-\frac{5y}{2xz^{2}}=-\frac{5y\cdot35xy^{2}}{2xz^{2}\cdot35xy^{2}}=-\frac{175xy^{3}}{70x^{2}y^{2}z^{2}}$
(2)对分母因式分解：$5x^{2}-5y^{2}=5(x-y)(x+y)$，最简公分母为$10(x-y)(x+y)^{2}$
$\frac{x+y}{5x^{2}-5y^{2}}=\frac{x+y}{5(x-y)(x+y)}=\frac{2(x+y)^{2}}{10(x-y)(x+y)^{2}}$
$\frac{1}{2(x+y)^{2}}=\frac{5(x-y)}{2(x+y)^{2}\cdot5(x-y)}=\frac{5(x-y)}{10(x-y)(x+y)^{2}}$
1. 下列分式中是最简分式的是(
A.$\frac{a^{2} - 1}{a^{2} + 1}$
B.$\frac{a^{2} - 4a + 4}{a^{2} - 4}$
C.$\frac{a^{2} - 2ab + b^{2}}{a^{2} - ab}$
D.$\frac{a^{2} - 16}{3a - 12}$
A
)A.$\frac{a^{2} - 1}{a^{2} + 1}$
B.$\frac{a^{2} - 4a + 4}{a^{2} - 4}$
C.$\frac{a^{2} - 2ab + b^{2}}{a^{2} - ab}$
D.$\frac{a^{2} - 16}{3a - 12}$
答案
A
解析
A选项：分子$a^{2} - 1=(a + 1)(a - 1)$，分母$a^{2} + 1$不能因式分解，分子与分母没有公因式，所以$\frac{a^{2} - 1}{a^{2} + 1}$是最简分式。
B选项：分子$a^{2} - 4a + 4=(a - 2)^{2}$，分母$a^{2} - 4=(a + 2)(a - 2)$，分子分母有公因式$(a - 2)$，可化简为$\frac{a - 2}{a + 2}$，不是最简分式。
C选项：分子$a^{2} - 2ab + b^{2}=(a - b)^{2}$，分母$a^{2} - ab=a(a - b)$，分子分母有公因式$(a - b)$，可化简为$\frac{a - b}{a}$，不是最简分式。
D选项：分子$a^{2} - 16=(a + 4)(a - 4)$，分母$3a - 12 = 3(a - 4)$，分子分母有公因式$(a - 4)$，可化简为$\frac{a + 4}{3}$，不是最简分式。
B选项：分子$a^{2} - 4a + 4=(a - 2)^{2}$，分母$a^{2} - 4=(a + 2)(a - 2)$，分子分母有公因式$(a - 2)$，可化简为$\frac{a - 2}{a + 2}$，不是最简分式。
C选项：分子$a^{2} - 2ab + b^{2}=(a - b)^{2}$，分母$a^{2} - ab=a(a - b)$，分子分母有公因式$(a - b)$，可化简为$\frac{a - b}{a}$，不是最简分式。
D选项：分子$a^{2} - 16=(a + 4)(a - 4)$，分母$3a - 12 = 3(a - 4)$，分子分母有公因式$(a - 4)$，可化简为$\frac{a + 4}{3}$，不是最简分式。
2. 分式 $\frac{1}{x^{2} - 1}$,$\frac{x + 1}{x - 1}$,$\frac{1}{x^{2} - 2x + 1}$ 的最简公分母是
$(x + 1)(x - 1)^{2}$（或填$(x + 1)(x-1)^2$）
.答案
$(x + 1)(x - 1)^{2}$（或填$(x + 1)(x-1)^2$）。
解析
首先对给定的三个分母进行因式分解。
$x^{2} - 1 = (x + 1)(x - 1)$，
$x - 1$ 已经是最简形式，
$x^{2} - 2x + 1 = (x - 1)^{2}$，
接下来，找出这些因式的最高次幂的乘积来构成最简公分母。
这里，$(x + 1)$ 的最高次幂是 1，$(x - 1)$ 的最高次幂是 2。
因此，最简公分母是 $(x + 1)(x - 1)^{2}$。
$x^{2} - 1 = (x + 1)(x - 1)$，
$x - 1$ 已经是最简形式，
$x^{2} - 2x + 1 = (x - 1)^{2}$，
接下来，找出这些因式的最高次幂的乘积来构成最简公分母。
这里，$(x + 1)$ 的最高次幂是 1，$(x - 1)$ 的最高次幂是 2。
因此，最简公分母是 $(x + 1)(x - 1)^{2}$。
3. 若 $\frac{5x - 7}{x^{2} - 4x - 5} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 5}$,求 $A$,$B$ 的值.
答案
1. 对左边分母因式分解：$x^2 - 4x - 5=(x + 1)(x - 5)$。
2. 右边通分：$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 5}=\frac{A(x - 5) + B(x + 1)}{(x + 1)(x - 5)}$。
3. 由等式两边分子相等得：$5x - 7 = A(x - 5) + B(x + 1)$。
4. 右边展开合并：$Ax - 5A + Bx + B=(A + B)x + (-5A + B)$。
5. 对比系数得方程组：$\begin{cases}A + B = 5\\-5A + B = -7\end{cases}$。
6. 解方程组：两式相减得$6A = 12\Rightarrow A = 2$，代入$A + B = 5$得$B = 3$。
$A=2$，$B=3$。
2. 右边通分：$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 5}=\frac{A(x - 5) + B(x + 1)}{(x + 1)(x - 5)}$。
3. 由等式两边分子相等得：$5x - 7 = A(x - 5) + B(x + 1)$。
4. 右边展开合并：$Ax - 5A + Bx + B=(A + B)x + (-5A + B)$。
5. 对比系数得方程组：$\begin{cases}A + B = 5\\-5A + B = -7\end{cases}$。
6. 解方程组：两式相减得$6A = 12\Rightarrow A = 2$，代入$A + B = 5$得$B = 3$。
$A=2$，$B=3$。
4. 约分：
(1) $-\frac{5abc}{20a^{2}b}$；
(2) $\frac{ab - b^{2}}{(a - b)^{2}}$；
(3) $\frac{a^{2} - 2a + 1}{a - a^{2}}$；
(4) $\frac{2x^{2} - 4xy}{4y^{2} - x^{2}}$.
(1) $-\frac{5abc}{20a^{2}b}$；
(2) $\frac{ab - b^{2}}{(a - b)^{2}}$；
(3) $\frac{a^{2} - 2a + 1}{a - a^{2}}$；
(4) $\frac{2x^{2} - 4xy}{4y^{2} - x^{2}}$.
答案
(1) $-\frac{5abc}{20a^{2}b}=-\frac{5ab\cdot c}{5ab\cdot 4a}=-\frac{c}{4a}$
(2) $\frac{ab - b^{2}}{(a - b)^{2}}=\frac{b(a - b)}{(a - b)^{2}}=\frac{b}{a - b}$
(3) $\frac{a^{2}-2a + 1}{a - a^{2}}=\frac{(a - 1)^{2}}{a(1 - a)}=\frac{(1 - a)^{2}}{a(1 - a)}=\frac{1 - a}{a}$
(4) $\frac{2x^{2}-4xy}{4y^{2}-x^{2}}=\frac{2x(x - 2y)}{(2y - x)(2y + x)}=\frac{-2x(2y - x)}{(2y - x)(2y + x)}=-\frac{2x}{x + 2y}$
(2) $\frac{ab - b^{2}}{(a - b)^{2}}=\frac{b(a - b)}{(a - b)^{2}}=\frac{b}{a - b}$
(3) $\frac{a^{2}-2a + 1}{a - a^{2}}=\frac{(a - 1)^{2}}{a(1 - a)}=\frac{(1 - a)^{2}}{a(1 - a)}=\frac{1 - a}{a}$
(4) $\frac{2x^{2}-4xy}{4y^{2}-x^{2}}=\frac{2x(x - 2y)}{(2y - x)(2y + x)}=\frac{-2x(2y - x)}{(2y - x)(2y + x)}=-\frac{2x}{x + 2y}$
5. 通分：
(1) $\frac{2}{2x + 3}$,$\frac{x + 1}{3 - 2x}$,$\frac{3x + 2}{4x^{2} - 9}$；
(2) $\frac{1}{2x + 2}$,$\frac{3}{x^{2} - 1}$,$\frac{x}{x^{2} + 2x + 1}$.
(1) $\frac{2}{2x + 3}$,$\frac{x + 1}{3 - 2x}$,$\frac{3x + 2}{4x^{2} - 9}$；
(2) $\frac{1}{2x + 2}$,$\frac{3}{x^{2} - 1}$,$\frac{x}{x^{2} + 2x + 1}$.
答案
(1)
分母因式分解：
$2x+3=(2x+3)$，$3-2x=-(2x-3)$，$4x^2-9=(2x-3)(2x+3)$，最简公分母为$(2x-3)(2x+3)$。
$\frac{2}{2x+3}=\frac{2(2x-3)}{(2x+3)(2x-3)}=\frac{4x-6}{4x^2-9}$；
$\frac{x+1}{3-2x}=-\frac{x+1}{2x-3}=-\frac{(x+1)(2x+3)}{(2x-3)(2x+3)}=\frac{-2x^2-5x-3}{4x^2-9}$；
$\frac{3x+2}{4x^2-9}=\frac{3x+2}{(2x-3)(2x+3)}$。
(2)
分母因式分解：
$2x+2=2(x+1)$，$x^2-1=(x-1)(x+1)$，$x^2+2x+1=(x+1)^2$，最简公分母为$2(x-1)(x+1)^2$。
$\frac{1}{2x+2}=\frac{(x-1)(x+1)}{2(x+1)(x-1)(x+1)}=\frac{x^2-1}{2(x-1)(x+1)^2}$；
$\frac{3}{x^2-1}=\frac{3\cdot2(x+1)}{2(x-1)(x+1)(x+1)}=\frac{6x+6}{2(x-1)(x+1)^2}$；
$\frac{x}{x^2+2x+1}=\frac{x\cdot2(x-1)}{2(x+1)^2(x-1)}=\frac{2x^2-2x}{2(x-1)(x+1)^2}$。
分母因式分解：
$2x+3=(2x+3)$，$3-2x=-(2x-3)$，$4x^2-9=(2x-3)(2x+3)$，最简公分母为$(2x-3)(2x+3)$。
$\frac{2}{2x+3}=\frac{2(2x-3)}{(2x+3)(2x-3)}=\frac{4x-6}{4x^2-9}$；
$\frac{x+1}{3-2x}=-\frac{x+1}{2x-3}=-\frac{(x+1)(2x+3)}{(2x-3)(2x+3)}=\frac{-2x^2-5x-3}{4x^2-9}$；
$\frac{3x+2}{4x^2-9}=\frac{3x+2}{(2x-3)(2x+3)}$。
(2)
分母因式分解：
$2x+2=2(x+1)$，$x^2-1=(x-1)(x+1)$，$x^2+2x+1=(x+1)^2$，最简公分母为$2(x-1)(x+1)^2$。
$\frac{1}{2x+2}=\frac{(x-1)(x+1)}{2(x+1)(x-1)(x+1)}=\frac{x^2-1}{2(x-1)(x+1)^2}$；
$\frac{3}{x^2-1}=\frac{3\cdot2(x+1)}{2(x-1)(x+1)(x+1)}=\frac{6x+6}{2(x-1)(x+1)^2}$；
$\frac{x}{x^2+2x+1}=\frac{x\cdot2(x-1)}{2(x+1)^2(x-1)}=\frac{2x^2-2x}{2(x-1)(x+1)^2}$。
6. 先化简,再求值：$\frac{5a^{2} - 2ab}{25a^{2} - 20ab + 4b^{2}}$,其中 $a = \frac{4}{5}$,$b = -\frac{3}{4}$.
答案
化简过程：
$\begin{aligned}\frac{5a^{2} - 2ab}{25a^{2} - 20ab + 4b^{2}}&=\frac{a(5a - 2b)}{(5a - 2b)^{2}}\\&=\frac{a}{5a - 2b}\end{aligned}$
代入求值：
当 $a = \frac{4}{5}$，$b = -\frac{3}{4}$ 时，
$\begin{aligned}5a - 2b&=5×\frac{4}{5} - 2×\left(-\frac{3}{4}\right)\\&=4 + \frac{3}{2}\\&=\frac{11}{2}\end{aligned}$
$\frac{a}{5a - 2b}=\frac{\frac{4}{5}}{\frac{11}{2}}=\frac{4}{5}×\frac{2}{11}=\frac{8}{55}$
结论：
$\frac{8}{55}$
$\begin{aligned}\frac{5a^{2} - 2ab}{25a^{2} - 20ab + 4b^{2}}&=\frac{a(5a - 2b)}{(5a - 2b)^{2}}\\&=\frac{a}{5a - 2b}\end{aligned}$
代入求值：
当 $a = \frac{4}{5}$，$b = -\frac{3}{4}$ 时，
$\begin{aligned}5a - 2b&=5×\frac{4}{5} - 2×\left(-\frac{3}{4}\right)\\&=4 + \frac{3}{2}\\&=\frac{11}{2}\end{aligned}$
$\frac{a}{5a - 2b}=\frac{\frac{4}{5}}{\frac{11}{2}}=\frac{4}{5}×\frac{2}{11}=\frac{8}{55}$
结论：
$\frac{8}{55}$
7. 已知 $m$ 为整数,且分式 $-\frac{5m + 15}{m^{2} - 9}$ 的值为正整数,则 $m$ 的值为
-2或2
.答案
-2或2
解析
先化简分式：$-\frac{5m + 15}{m^2 - 9}=-\frac{5(m + 3)}{(m - 3)(m + 3)}=-\frac{5}{m - 3}$（$m\neq\pm3$）。
因为分式的值为正整数，设$-\frac{5}{m - 3}=k$（$k$为正整数），则$m - 3=-\frac{5}{k}$，$m=3-\frac{5}{k}$。
由于$m$为整数，$\frac{5}{k}$必为整数，$k$是5的正因数（1或5）。
当$k=1$时，$m=3 - 5= -2$；当$k=5$时，$m=3 - 1=2$。
经检验，$m=-2$和$m=2$均满足条件。
因为分式的值为正整数，设$-\frac{5}{m - 3}=k$（$k$为正整数），则$m - 3=-\frac{5}{k}$，$m=3-\frac{5}{k}$。
由于$m$为整数，$\frac{5}{k}$必为整数，$k$是5的正因数（1或5）。
当$k=1$时，$m=3 - 5= -2$；当$k=5$时，$m=3 - 1=2$。
经检验，$m=-2$和$m=2$均满足条件。
8. 已知 $x$,$y$ 为实数,且 $xy = 1$,设 $M = \frac{x}{x + 1} + \frac{y}{y + 1}$,$N = \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{y + 1}$,则 $M$,$N$
答案
解题步骤：
1. 计算 $ M $ 的值：
$ M = \frac{x}{x + 1} + \frac{y}{y + 1} $
通分，得：
$ M = \frac{x(y + 1) + y(x + 1)}{(x + 1)(y + 1)} $
展开分子：
$ x(y + 1) + y(x + 1) = xy + x + xy + y = 2xy + x + y $
已知 $ xy = 1 $，代入分子：
$ 2 × 1 + x + y = x + y + 2 $
分母展开：
$ (x + 1)(y + 1) = xy + x + y + 1 = 1 + x + y + 1 = x + y + 2 $
因此：
$ M = \frac{x + y + 2}{x + y + 2} = 1 $
2. 计算 $ N $ 的值：
$ N = \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{y + 1} $
通分，得：
$ N = \frac{(y + 1) + (x + 1)}{(x + 1)(y + 1)} = \frac{x + y + 2}{(x + 1)(y + 1)} $
由步骤1知分母 $ (x + 1)(y + 1) = x + y + 2 $，代入得：
$ N = \frac{x + y + 2}{x + y + 2} = 1 $
结论：
$ M = N $
1. 计算 $ M $ 的值：
$ M = \frac{x}{x + 1} + \frac{y}{y + 1} $
通分，得：
$ M = \frac{x(y + 1) + y(x + 1)}{(x + 1)(y + 1)} $
展开分子：
$ x(y + 1) + y(x + 1) = xy + x + xy + y = 2xy + x + y $
已知 $ xy = 1 $，代入分子：
$ 2 × 1 + x + y = x + y + 2 $
分母展开：
$ (x + 1)(y + 1) = xy + x + y + 1 = 1 + x + y + 1 = x + y + 2 $
因此：
$ M = \frac{x + y + 2}{x + y + 2} = 1 $
2. 计算 $ N $ 的值：
$ N = \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{y + 1} $
通分，得：
$ N = \frac{(y + 1) + (x + 1)}{(x + 1)(y + 1)} = \frac{x + y + 2}{(x + 1)(y + 1)} $
由步骤1知分母 $ (x + 1)(y + 1) = x + y + 2 $，代入得：
$ N = \frac{x + y + 2}{x + y + 2} = 1 $
结论：
$ M = N $
