1. 已知$x_{1},x_{2}是方程x^{2}-8x+6= 0$的两个实数根,则$x_{1}\cdot x_{2}$的值为 ()
A.8
B.-8
C.6
D.-6

C

对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(a\neq0)$，若方程的两个实数根为$x_{1},x_{2}$，则$x_{1}\cdot x_{2}=\frac{c}{a}$。
在方程$x^{2}-8x+6=0$中，$a=1$，$c=6$，所以$x_{1}\cdot x_{2}=\frac{6}{1}=6$。
C

2. 若一元二次方程$x^{2}-2x-3= 0的两个根为x_{1},x_{2}$,则$x_{1}+x_{2}$等于 ()
A.-3
B.2
C.3
D.1或3

B

对于一元二次方程$x^{2}-2x - 3=0$，其中$a = 1$，$b=-2$。
根据韦达定理，两根之和$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$。
则$x_{1}+x_{2}=-\frac{-2}{1}=2$。
B

3. 若关于x的一元二次方程$x^{2}+px+4= 0的一个解为x_{1}= 2$,则另一个解$x_{2}$为 ()
A.1
B.-1
C.-2
D.2

D

已知一元二次方程$x^{2}+px+4=0$的一个解为$x_{1}=2$，设另一个解为$x_{2}$。
根据韦达定理，在一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$（$a\neq0$）中，两根之积为$\frac{c}{a}$。
此方程中$a=1$，$c=4$，所以$x_{1}x_{2}=\frac{4}{1}=4$。
将$x_{1}=2$代入，得$2x_{2}=4$，解得$x_{2}=2$。
D

4. 下列关于x的方程中,两实数根之和为3的是 ()
A.$x^{2}+3x= 2$
B.$x^{2}-3x+4= 0$
C.$x^{2}-3x= 4$
D.$x^{2}-2x-3= 0$

C

对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)$，若方程有两实数根，其和为$-\frac{b}{a}$。
选项A：方程化为$x^2 + 3x - 2 = 0$，两根之和为$-\frac{3}{1}=-3$，不符合。
选项B：$\Delta=(-3)^2 - 4×1×4=9 - 16=-7＜0$，无实数根，不符合。
选项C：方程化为$x^2 - 3x - 4 = 0$，两根之和为$-\frac{-3}{1}=3$，符合。
选项D：两根之和为$-\frac{-2}{1}=2$，不符合。
C

5. 以1和3为根且二次项系数为1的一元二次方程是.(写成一般式)

$x^2 - 4x + 3 = 0$

设一元二次方程为 $x^2 + bx + c = 0$，其根为 $x_1$ 和 $x_2$。
根据一元二次方程的根与系数的关系，有：
根的和：$x_1 + x_2 = -b$，
根的积：$x_1 × x_2 = c$，
由题意知，$x_1 = 1$ 和 $x_2 = 3$，
所以，根的和为：$1 + 3 = 4$，即 $-b = 4$，从而 $b = -4$，
根的积为：$1 × 3 = 3$，即 $c = 3$，
因此，所求的一元二次方程为：$x^2 - 4x + 3 = 0$。

6. 若实数a,b是一元二次方程$x^{2}-3x-1= 0$的两根,则$2a+2b-ab+1= $.

8

由韦达定理得，$a + b = 3$，$ab=-1$。
$2a + 2b - ab + 1=2(a + b)-ab + 1$
将$a + b = 3$，$ab=-1$代入上式，得：
$2×3-(-1)+1=6 + 1+1=8$
8

7. 已知m,n是方程$x^{2}+x-1= 0$的实数根.求:
(1)$m+n,mn$的值;
(2)$m^{2}+2m+n-mn$的值.

(1) 根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程 $ax^2 + bx + c = 0$，其两根之和为 $-\frac{b}{a}$，两根之积为 $\frac{c}{a}$。
对于方程 $x^2 + x - 1 = 0$，有 $a = 1, b = 1, c = -1$。
所以，$m+n = -\frac{1}{1} = -1$，$mn = \frac{-1}{1} = -1$。
(2)
由于 $m$ 是方程 $x^2 + x - 1 = 0$ 的根，所以 $m^2 + m - 1 = 0$，即 $m^2 + m = 1$。
因此，$m^2 + 2m + n - mn = (m^2 + m) + (m + n) - mn = 1 + (-1) - (-1) = 1$。

8. 已知$x_{1},x_{2}是方程x^{2}-5x+3= 0$的两个实数根,求下列各式的值.
(1)$(x_{1}+1)(x_{2}+1)$;
(2)$\frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}$.

(1) 由根与系数的关系得：$x_{1}+x_{2}=5$，$x_{1}x_{2}=3$
$(x_{1}+1)(x_{2}+1)=x_{1}x_{2}+x_{1}+x_{2}+1=3 + 5 + 1=9$
(2) $\frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{x_{2}^{2}+x_{1}^{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{5^{2}-2×3}{3}=\frac{25 - 6}{3}=\frac{19}{3}$

9. 已知$\alpha,\beta是方程x^{2}-2x-2025= 0$的两个实数根,求$\alpha^{2}-4\alpha-2\beta-2$的值.

答题卡：
解：
∵$\alpha$是方程$x^{2} - 2x - 2025 = 0$的根，
∴根据方程根的定义，我们有$\alpha^{2} - 2\alpha - 2025 = 0$，
移项得到$\alpha^{2} - 2\alpha = 2025$，同时我们可以得到$\alpha^{2} = 2\alpha + 2025$；
又∵$\alpha,\beta$是方程$x^{2} - 2x - 2025 = 0$的两个实数根，
∴根据一元二次方程根与系数的关系，我们有$\alpha + \beta = -\frac{-2}{1} = 2$；
接下来我们将上述结果代入到目标表达式$\alpha^{2} - 4\alpha - 2\beta - 2$中，得到：
$\alpha^{2} - 4\alpha - 2\beta - 2 = (2\alpha + 2025) - 4\alpha - 2\beta - 2$
$= 2025 - 2\alpha - 2\beta - 2$
$= 2023 - 2(\alpha + \beta)$
$= 2023 - 2 × 2$
$= 2023 - 4$
$= 2019$。