7. 如图,$AC为\odot O$的直径,$BD$是弦,且$AC\perp BD于点E$,连接$AB$,$OB$,$BC$.
(1)求证:$\angle CBO= \angle ABD$;
(2)若$AE= 4\ cm$,$CE= 16\ cm$,求弦$BD$的长.

（1）证明：
因为$AC$为$\odot O$的直径，$AC\perp BD$于点$E$，
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧，
所以$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AB}$，
根据同弧或等弧所对的圆周角相等，可得$\angle C=\angle ABD$，
因为$OB=OC$，
所以$\angle C=\angle CBO$，
所以$\angle CBO=\angle ABD$。
（2）因为$AE=4cm$，$CE=16cm$，
所以$AC=AE+CE=4+16=20cm$，
则半径$OA=OB=\frac{20}{2}=10cm$，
所以$OE=OA-AE=10-4=6cm$，
在$Rt\triangle OBE$中，根据勾股定理$BE=\sqrt{OB^{2}-OE^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8cm$，
因为$AC\perp BD$，
根据垂径定理，$BD=2BE=2×8=16cm$。
故弦$BD$的长为$16cm$。

8. 如图,$A$,$B$,$C是\odot O$上不同的三点,$AB// OC$.
(1)求证:$AC平分\angle OAB$;
(2)过点$O作OE\perp AB于点E$,交$AC于点P$.若$AB= 2\sqrt{3}$,$\angle AOE= 30^{\circ}$,求$PE$的长.

(1)见证明过程；(2)1

(1)证明：
∵AB//OC，
∴∠OCA=∠CAB。
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC。
∴∠OAC=∠CAB，即AC平分∠OAB。
(2)
∵OE⊥AB，AB=2√3，
∴AE=1/2AB=√3。
在Rt△AOE中，∠AOE=30°，∠AEO=90°，
∴cos∠AOE=OE/OA，sin∠AOE=AE/OA，
即cos30°=OE/OA，sin30°=√3/OA，
解得OA=2√3，OE=OA·cos30°=2√3×(√3/2)=3。
∵AC平分∠OAB，∠OAB=90°-∠AOE=60°，
∴∠OAC=∠CAB=30°。
在Rt△APE中，∠PAE=30°，AE=√3，
tan∠PAE=PE/AE，即tan30°=PE/√3，
解得PE=√3×(√3/3)=1。
(1)证明完毕；
(2)PE=1。

9. 在图①中,弦$AB// CD$,$AB= CD$;在图②中,弦$AB// CD$,$AB\neq CD$且在圆心两侧,请仅用无刻度的直尺,分别按下列要求作图(不写作法,保留作图痕迹).
(1)在图①中作出圆的圆心$O$;
(2)在图②中作出圆的一条直径.

(1) 连接AD、BC，两线交于点O，点O即为圆心。
(2) 连接AD、BC交于点P，直线AP（或BP、CP、DP）与圆相交于两点，该两点间线段即为直径。
（注：作图痕迹需保留连接AD、BC的线段及交点，图①中交点为O；图②中直线与圆的交点连线为直径。）