1. 三角形的中线
(1) 如图，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的E，所得叫作△ABC的边BC上的中线。
(2) 三角形的三条相交于一点，交点叫作三角形的重心。

2. 三角形的角平分线
(1) 如上图，画△ABC的∠BAC的AD，交∠BAC所对的边BC于点D，所得叫作△ABC的角平分线。
(2) 三角形的三条角平分线相交于一点。

3. 三角形的高
(1) 如上图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画，垂足为F，所得叫作△ABC的边BC上的高线。
(2) 锐角三角形的三条高在三角形；直角三角形有两条高恰好是它的两条；钝角三角形有两条高在三角形，两个垂足落在边的延长线上。

(1)中点；线段AE (2)中线
@@(1)平分线；线段AD
@@(1)垂线；垂线段；(2)内部；直角边；外部

(1)根据三角形中线的定义，连接三角形顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。图中连接顶点A和边BC的点E，所以E应为BC的中点，所得线段AE是中线。(2)三角形三条中线相交于一点，该点称为重心。

【例1】如图，AD是△ABC的中线。
(1) 若AB=7，AC=5，求△ABD与△ACD的周长之差。
(2) 画出图中△ABC的另外两条中线，观察三条中线的位置有什么特点？
重点必记
三角形的三条中线相交于三角形内部一点，这个交点是三角形的重心。由三角形的一条中线可得两条相等的线段和两个面积相等的三角形。

(1)
由于 $AD$ 是 $\triangle ABC$ 的中线，根据中线性质，有 $BD = CD$。
$\triangle ABD$ 的周长为 $AB + BD + AD$，$\triangle ACD$ 的周长为 $AC + CD + AD$。
$\triangle ABD$ 与 $\triangle ACD$ 的周长之差为：
$(AB + BD + AD) - (AC + CD + AD) = AB - AC = 7 - 5 = 2$
(2)
画出 $\triangle ABC$ 的另外两条中线，分别从 $B$ 点到 $AC$ 的中点 $E$，从 $C$ 点到 $AB$ 的中点 $F$。
观察三条中线 $AD$、$BE$、$CF$，可以发现它们相交于三角形内部一点，这个交点是三角形的重心。

【变式1】如图所示的网格图由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G均在小正方形的格点上，则△ABC的重心是()。


A.点G
B.点D
C.点E
D.点F

B

三角形重心是三条中线的交点。在网格中，分别作出△ABC两条边上的中线：取AC中点，连接B与该中点；取BC中点，连接A与该中点。两条中线交于点D，故△ABC的重心是点D。

【例2】如图，若∠1=∠2，∠3=∠4，则下列结论中错误的是()。

A.BD是△ABC的角平分线
B.CE是△BCD的角平分线
C.∠3=$\frac{1}{2}$∠ACB
D.CE是△ABC的角平分线

D

A选项：由∠1=∠2，根据定义，BD是△ABC的角平分线，故A正确。
B选项：由∠3=∠4，且是在△BCD中，根据定义，CE是△BCD的角平分线，故B正确。
C选项：由∠3=∠4，且∠3+∠4=∠ACB，可得∠3=$\frac{1}{2}$∠ACB，故C正确。
D选项：CE并非△ABC的角平分线，因为CE没有将∠ACB平分为两个相等的角，故D错误。