1. 下列分式中,属于最简分式的是()
A.$-\dfrac{9y}{12x}$
B.$\dfrac{a+b}{a^{2}+2ab+b^{2}}$
C.$\dfrac{2a-4b}{a^{2}-4b^{2}}$
D.$\dfrac{1-a}{4a^{2}-2a}$

D

A. 对于分式$-\frac{9y}{12x}$，分子和分母都可以被3整除，所以可以约分为$-\frac{3y}{4x}$，因此不是最简分式。
B. 对于分式$\frac{a+b}{a^{2}+2ab+b^{2}}$，分母$a^{2}+2ab+b^{2}$可以因式分解为$(a+b)^{2}$，分子和分母有公因式$a+b$，所以可以约分为$\frac{1}{a+b}$，因此不是最简分式。
C. 对于分式$\frac{2a-4b}{a^{2}-4b^{2}}$，分子可以被2整除，分母$a^{2}-4b^{2}$可以因式分解为$(a+2b)(a-2b)$，且分子提取公因数2后为$2(a-2b)$，与分母中的$a-2b$有公因式，所以可以约分为$\frac{2}{a+2b}$，因此不是最简分式。
D. 对于分式$\frac{1-a}{4a^{2}-2a}$，分子和分母没有公因式（分母可以因式分解为$2a(2a-1)$，与分子$1-a$无公因式），因此是最简分式。

2. 在通分$\dfrac{2xy}{x^{2}-y^{2}}与\dfrac{x-y}{x+y}$时,最简公分母是()
A.$x^{2}+y^{2}$
B.$x+y$
C.$(x^{2}-y^{2})(x+y)$
D.$(x-y)(x+y)$

D

先对第一个分式的分母分解因式，$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$，第二个分式的分母是$x + y$。最简公分母是各分母所有因式的最高次幂的积，所以最简公分母为$(x - y)(x + y)$。

3. 化简：(1)$\dfrac{2a^{2}b^{3}}{-6a^{3}b^{2}}=$；
(2)$\dfrac{2x+6}{x^{2}-9}=$.

(1) $- \dfrac{b}{3a}$；(2) $\dfrac{2}{x-3}$。

(1) 对于 $\dfrac{2a^{2}b^{3}}{-6a^{3}b^{2}}$，首先找出分子和分母的公因式。这里，公因式是 $2a^{2}b^{2}$。然后，将分子和分母都除以这个公因式，得到：
$\dfrac{2a^{2}b^{3}}{-6a^{3}b^{2}} = \frac{2a^{2}b^{2} \cdot b}{2a^{2}b^{2} \cdot (-3a)} = - \frac{b}{3a}$。
(2) 对于 $\dfrac{2x+6}{x^{2}-9}$，首先对分子和分母进行因式分解。分子 $2x+6$ 可以分解为 $2(x+3)$，分母 $x^{2}-9$ 可以分解为 $(x+3)(x-3)$。然后，约去公因式 $x+3$，得到：
$\dfrac{2x+6}{x^{2}-9} = \frac{2(x+3)}{(x+3)(x-3)} = \frac{2}{x-3}$。

4. (2024·山东济宁中考)已知$a^{2}-2b+1= 0$,则$\dfrac{4b}{a^{2}+1}$的值是.

2

由$a^{2}-2b+1=0$得$a^{2}+1=2b$，代入$\dfrac{4b}{a^{2}+1}$得$\dfrac{4b}{2b}=2$

5. 约分：
(1)$\dfrac{24a^{2}b}{-4ab}$；(2)$\dfrac{2a^{2}-ab}{2a^{2}b-ab^{2}}$.

(1)
$\begin{aligned} \dfrac{24a^{2}b}{-4ab} \\= \dfrac{24 ÷ 4 \cdot a^{2} ÷ a \cdot b ÷ b}{-4 ÷ 4 \cdot a ÷ a \cdot b÷ b} \\= \dfrac{6a}{-1} \\= -6a\end{aligned}$
(2)
首先对分子进行因式分解，得到 $2a^{2} - ab = a(2a - b)$。
然后对分母进行因式分解，得到$2a^{2}b - ab^{2} = ab(2a - b)$。
$\begin{aligned} \dfrac{2a^{2} - ab}{2a^{2}b - ab^{2}} \\= \dfrac{a(2a - b)}{ab(2a - b)} \\= \dfrac{a}{ab} \\= \dfrac{1}{b}\end{aligned}$

6. 通分：
(1)$\dfrac{3c}{4a^{2}b}与\dfrac{a}{6b^{2}c}$；
(2)$\dfrac{x-2}{x^{2}+2x}与\dfrac{1}{x^{2}+4x+4}$.

(1)最简公分母为$12a^{2}b^{2}c$
$\dfrac{3c}{4a^{2}b}=\dfrac{3c\cdot 3bc}{4a^{2}b\cdot 3bc}=\dfrac{9bc^{2}}{12a^{2}b^{2}c}$
$\dfrac{a}{6b^{2}c}=\dfrac{a\cdot 2a^{2}}{6b^{2}c\cdot 2a^{2}}=\dfrac{2a^{3}}{12a^{2}b^{2}c}$
(2)分母因式分解：$x^{2}+2x = x(x + 2)$，$x^{2}+4x + 4=(x + 2)^{2}$，最简公分母为$x(x + 2)^{2}$
$\dfrac{x - 2}{x^{2}+2x}=\dfrac{(x - 2)(x + 2)}{x(x + 2)\cdot (x + 2)}=\dfrac{x^{2}-4}{x(x + 2)^{2}}$
$\dfrac{1}{x^{2}+4x + 4}=\dfrac{1\cdot x}{(x + 2)^{2}\cdot x}=\dfrac{x}{x(x + 2)^{2}}$

7. (2024·北京中考)已知$a-b-1= 0$,求代数式$\dfrac{3(a-2b)+3b}{a^{2}-2ab+b^{2}}$的值.

3

解：
1. 由 $a - b - 1 = 0$，得 $a - b = 1$。
2. 化简分子：$3(a - 2b) + 3b = 3a - 6b + 3b = 3a - 3b = 3(a - b)$。
3. 化简分母：$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$。
4. 原式 $= \dfrac{3(a - b)}{(a - b)^2} = \dfrac{3}{a - b}$。
5. 将 $a - b = 1$ 代入，得 $\dfrac{3}{1} = 3$。

8. 已知$\dfrac{a}{2}= \dfrac{b}{3}= \dfrac{c}{4}\ne0$,求分式$\dfrac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$的值.

设$\dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{3}=\dfrac{c}{4}=k(k\ne0)$，则$a=2k$，$b=3k$，$c=4k$。
分子：$ab+bc+ca=(2k)(3k)+(3k)(4k)+(4k)(2k)=6k^2+12k^2+8k^2=26k^2$。
分母：$a^2+b^2+c^2=(2k)^2+(3k)^2+(4k)^2=4k^2+9k^2+16k^2=29k^2$。
分式的值：$\dfrac{26k^2}{29k^2}=\dfrac{26}{29}$。
$\dfrac{26}{29}$

9. 使分式$\dfrac{2x^{2}-4x+2}{(x-1)^{3}}的值为整数的整数x$的值有多少个？请先阅读解题过程,然后回答有关问题.
因为$\dfrac{2x^{2}-4x+2}{(x-1)^{3}}= \dfrac{2(x-1)^{2}}{(x-1)^{3}}= \dfrac{2}{x-1}$,且该分式的值及$x$的值均为整数,所以$(x-1)能整除2$.当$x= 1$时,因为$x-1= 0$,所以分母为零,分式无意义.所以$x-1可取的值为\pm1$,$\pm2$,从而$x可为-1$,$0$,$2与3$.那么满足条件的$x值共有4$个.
运用这种解题思路,求出使分式$\dfrac{6x^{2}-12x+6}{(x-1)^{3}}的值为整数x$的值的个数为.

【解析】：$\dfrac{6x^{2}-12x+6}{(x-1)^{3}}=\dfrac{6(x-1)^{2}}{(x-1)^{3}}=\dfrac{6}{x-1}$，分式值及$x$为整数，故$x-1$整除6且$x-1\neq0$，$x-1=\pm1,\pm2,\pm3,\pm6$，$x=0,2,-1,3,-2,4,-5,7$，共8个。
【答案】：8

因为$\frac{6x^{2}-12x + 6}{(x - 1)^{3}}=\frac{6(x - 1)^{2}}{(x - 1)^{3}}=\frac{6}{x - 1}$，且该分式的值及$x$的值均为整数，所以$(x - 1)$能整除$6$。
$6$的因数有$\pm1,\pm2,\pm3,\pm6$，当$x - 1 = 1$时，$x = 2$；当$x - 1=-1$时，$x = 0$；当$x - 1 = 2$时，$x = 3$；当$x - 1=-2$时，$x=-1$；当$x - 1 = 3$时，$x = 4$；当$x - 1=-3$时，$x=-2$；当$x - 1 = 6$时，$x = 7$；当$x - 1=-6$时，$x=-5$。
当$x = 1$时，分母为$0$，分式无意义。所以满足条件的$x$值共有$8$个。