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1. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,且$D为BC$上一点,$CD = AD$,$AB = BD$,则$\angle B$的度数为(
A.$30^{\circ}$
B.$36^{\circ}$
C.$40^{\circ}$
D.$45^{\circ}$
36°
)A.$30^{\circ}$
B.$36^{\circ}$
C.$40^{\circ}$
D.$45^{\circ}$
答案
1.B 解析:设∠B的度数为x°.因为AB=AC,所以∠C=∠B=x°.又因为AD=CD，所以∠C=∠CAD=x°，所以∠ADB=∠C+∠CAD=2∠C=2x°.又因为AB=BD,所以∠BAD=∠ADB=2x°,所以x+x+2x+x=180,解得x=36,所以∠B的度数为36°.
2. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$BD \perp AC$,垂足为$D$,则$\angle DBC与\angle A$的关系为( )
A.$\angle DBC = \angle A$
B.$\angle DBC = 2\angle A$
C.$2\angle DBC = \angle A$
D.无法确定
A.$\angle DBC = \angle A$
B.$\angle DBC = 2\angle A$
C.$2\angle DBC = \angle A$
D.无法确定
答案
2.C 解析:如图,过点A作AE⊥BC于点E.因为BD⊥AC，AE⊥BC，所以∠BDC=∠AEC=90°,所以∠EAC+∠C=90°,∠DBC+∠C=90°,所以∠EAC=∠DBC.又因为AB=AC,所以AE是∠BAC的平分线,所以2∠EAC=∠BAC,即2∠DBC=∠BAC.
3. 如图,在$\triangle ABC$中,$BE平分\angle ABC$,$DE // BC$,若$AB = 12$,$AD = 5$,则$DE$等于(
A.$6$
B.$7$
C.$8$
D.$9$
]
B
)A.$6$
B.$7$
C.$8$
D.$9$
]
答案
3.B 解析:因为AB=12,AD=5，所以BD=AB−AD=12−5=7.因为BE平分∠ABC，所以∠ABE=∠CBE.因为DE//BC,所以∠DEB=∠CBE,所以∠ABE=∠DEB,所以DE=BD=7.故选B.
4. 如图,在等腰三角形$ABC$中,$AB = AC$,$AB的垂直平分线MN交AC于点D$,$\angle DBC = 15^{\circ}$,则$\angle A$的度数是
50°
。答案
4.50° 解析:因为MN是AB的垂直平分线,所以AD=BD,所以∠A=∠ABD.因为∠DBC=15°,所以∠ABC=∠A+15°.因为AB=AC，所以∠C=∠ABC=∠A+15°,∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°,解得∠A=50°.
5. 如图,在$\triangle ABC的BC边上截取BE = AB$,连接$AE$,作$\triangle ABE的角平分线BD交AE于点D$,若$\angle EAC = \angle C$,$BC = 9$,$AB = 5$,则$CE = $
4
,$AD = $2
。答案
5.4 2 解析:因为BE=AB,BD平分∠ABE,所以AD=DE.因为∠EAC=∠C,所以AE=CE.因为BC=9,AB=5,BE=AB,所以CE=BC−BE=BC−AB=9−5=4,所以AD=DE=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{2}$CE=2.
解析
4；2
解析：因为 $ BE = AB $，$ BD $ 平分 $ \angle ABE $，所以 $ AD = DE $（等腰三角形三线合一）。
因为 $ \angle EAC = \angle C $，所以 $ AE = CE $（等角对等边）。
因为 $ BC = 9 $，$ AB = 5 $，$ BE = AB $，所以 $ CE = BC - BE = 9 - 5 = 4 $。
因此 $ AE = CE = 4 $，所以 $ AD = DE = \frac{1}{2}AE = \frac{1}{2} × 4 = 2 $。
综上，$ CE = 4 $，$ AD = 2 $。
解析：因为 $ BE = AB $，$ BD $ 平分 $ \angle ABE $，所以 $ AD = DE $（等腰三角形三线合一）。
因为 $ \angle EAC = \angle C $，所以 $ AE = CE $（等角对等边）。
因为 $ BC = 9 $，$ AB = 5 $，$ BE = AB $，所以 $ CE = BC - BE = 9 - 5 = 4 $。
因此 $ AE = CE = 4 $，所以 $ AD = DE = \frac{1}{2}AE = \frac{1}{2} × 4 = 2 $。
综上，$ CE = 4 $，$ AD = 2 $。
6. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$AE是BC$边上的高,$\angle ABC的平分线与AE相交于点D$。求证：点$D在\angle ACB$的平分线上。
]
]
答案
6.证明:如图,连接CD.
因为AB=AC,AE是BC边上的高,所以∠BAE=∠CAE.在△BAD和△CAD中, $\left\{\begin{array}{l} AB=AC,\\ ∠BAE=∠CAE,\\ AD=AD,\end{array}\right.$ 所以△BAD≌△CAD(SAS),所以∠ABD=∠ACD.因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB.因为BD是∠ABC的平分线,所以∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC,所以∠ACD=$\frac{1}{2}$∠ACB,所以点D在∠ACB的平分线上.
7. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC$,$\angle CAB的平分线交于点P$,过点$P作DE // AB$,分别交$BC$,$AC于点D$,$E$。求证：$DE = BD + AE$。
]
]
答案
7.证明:因为DE//AB，所以∠ABP=∠DPB,∠BAP=∠EPA.因为BP,AP分别平分∠ABC，∠CAB，所以∠ABP=∠DBP,∠BAP=∠EAP,所以∠DBP=∠DPB,∠EAP=∠EPA,所以DP=BD,EP=AE,所以DP+EP=BD+AE,即DE=BD+AE.
解析
证明:因为$DE // AB$，所以$\angle ABP = \angle DPB$，$\angle BAP = \angle EPA$。
因为$BP$，$AP$分别平分$\angle ABC$，$\angle CAB$，所以$\angle ABP = \angle DBP$，$\angle BAP = \angle EAP$。
所以$\angle DBP = \angle DPB$，$\angle EAP = \angle EPA$，因此$DP = BD$，$EP = AE$。
所以$DP + EP = BD + AE$，即$DE = BD + AE$。
因为$BP$，$AP$分别平分$\angle ABC$，$\angle CAB$，所以$\angle ABP = \angle DBP$，$\angle BAP = \angle EAP$。
所以$\angle DBP = \angle DPB$，$\angle EAP = \angle EPA$，因此$DP = BD$，$EP = AE$。
所以$DP + EP = BD + AE$，即$DE = BD + AE$。
