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4. 若$(x - 1)^2 = 2$,则代数式$x^2 - 2x + 5的值为$_________$$
6
。答案
6（题目要求是填写横线，所以这里按实际值对应形式，严格按要求下面模拟横线填值形式）
（若横线填值，则答案场所为）
$\underline{6}$
（若横线填值，则答案场所为）
$\underline{6}$
解析
由$(x - 1)^2 = 2$，展开得$x^2 - 2x + 1 = 2$。
移项得$x^2 - 2x = 1$。
将$x^2 - 2x$的值代入$x^2 - 2x + 5$，得$1 + 5 = 6$。
移项得$x^2 - 2x = 1$。
将$x^2 - 2x$的值代入$x^2 - 2x + 5$，得$1 + 5 = 6$。
5. 运用完全平方公式计算：
(1)$(x + 7)^2$；(2)$(1.5m - \frac{2}{3}n)^2$。
(1)$(x + 7)^2$；(2)$(1.5m - \frac{2}{3}n)^2$。
答案
(1)
根据完全平方公式$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，将$a=x$，$b = 7$代入可得：
$(x + 7)^2=x^2+2× x×7 + 7^2=x^2 + 14x+49$。
(2)
根据完全平方公式$(a - b)^2=a^2-2ab + b^2$，将$a = 1.5m$，$b=\frac{2}{3}n$代入可得：
$(1.5m-\frac{2}{3}n)^2=(1.5m)^2-2×1.5m×\frac{2}{3}n+(\frac{2}{3}n)^2 = 2.25m^2-2mn+\frac{4}{9}n^2$。
根据完全平方公式$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，将$a=x$，$b = 7$代入可得：
$(x + 7)^2=x^2+2× x×7 + 7^2=x^2 + 14x+49$。
(2)
根据完全平方公式$(a - b)^2=a^2-2ab + b^2$，将$a = 1.5m$，$b=\frac{2}{3}n$代入可得：
$(1.5m-\frac{2}{3}n)^2=(1.5m)^2-2×1.5m×\frac{2}{3}n+(\frac{2}{3}n)^2 = 2.25m^2-2mn+\frac{4}{9}n^2$。
6. 化简：(1)$2(a + 1)^2 + (a + 1)(1 - 2a)$；
(2)$(2x + 1)^2 - (x + 3)(x - 3)$。
(2)$(2x + 1)^2 - (x + 3)(x - 3)$。
答案
(1)
首先，根据完全平方公式$(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$，将$2(a + 1)^2$展开：
$2(a + 1)^2=2(a^2+2a + 1)=2a^2+4a+2$
然后，根据多项式乘法法则，将$(a + 1)(1 - 2a)$展开：
$(a + 1)(1 - 2a)=a×1-a×2a+1×1 - 1×2a=a - 2a^2+1 - 2a=-2a^2 - a + 1$
最后，将两部分相加：
$2(a + 1)^2+(a + 1)(1 - 2a)=2a^2+4a+2-2a^2 - a + 1=3a + 3$
(2)
首先，根据完全平方公式$(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$，将$(2x + 1)^2$展开：
$(2x + 1)^2=(2x)^2+2×2x×1+1^2 = 4x^2+4x + 1$
然后，根据平方差公式$(m+n)(m - n)=m^2 - n^2$，将$(x + 3)(x - 3)$展开：
$(x + 3)(x - 3)=x^2-9$
最后，将两部分相减：
$(2x + 1)^2-(x + 3)(x - 3)=4x^2+4x + 1-(x^2-9)=4x^2+4x + 1 - x^2+9=3x^2+4x + 10$
综上，(1)的答案是$3a + 3$；(2)的答案是$3x^2+4x + 10$。
首先，根据完全平方公式$(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$，将$2(a + 1)^2$展开：
$2(a + 1)^2=2(a^2+2a + 1)=2a^2+4a+2$
然后，根据多项式乘法法则，将$(a + 1)(1 - 2a)$展开：
$(a + 1)(1 - 2a)=a×1-a×2a+1×1 - 1×2a=a - 2a^2+1 - 2a=-2a^2 - a + 1$
最后，将两部分相加：
$2(a + 1)^2+(a + 1)(1 - 2a)=2a^2+4a+2-2a^2 - a + 1=3a + 3$
(2)
首先，根据完全平方公式$(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$，将$(2x + 1)^2$展开：
$(2x + 1)^2=(2x)^2+2×2x×1+1^2 = 4x^2+4x + 1$
然后，根据平方差公式$(m+n)(m - n)=m^2 - n^2$，将$(x + 3)(x - 3)$展开：
$(x + 3)(x - 3)=x^2-9$
最后，将两部分相减：
$(2x + 1)^2-(x + 3)(x - 3)=4x^2+4x + 1-(x^2-9)=4x^2+4x + 1 - x^2+9=3x^2+4x + 10$
综上，(1)的答案是$3a + 3$；(2)的答案是$3x^2+4x + 10$。
7. 若$x^2 + 4x - 4 = 0$,则$3(x - 2)^2 - 6(x + 1)(x - 1)$的值为(
A.-6
B.6
C.18
D.30
B
)A.-6
B.6
C.18
D.30
答案
B
解析
首先，由已知条件 $x^2 + 4x - 4 = 0$，可得 $x^2 + 4x = 4$。
接下来化简表达式 $3(x - 2)^2 - 6(x + 1)(x - 1)$：
$3(x - 2)^2 = 3(x^2 - 4x + 4) = 3x^2 - 12x + 12$，
$6(x + 1)(x - 1) = 6(x^2 - 1) = 6x^2 - 6$，
所以原式为 $3x^2 - 12x + 12 - 6x^2 + 6 = -3x^2 - 12x + 18$。
将 $x^2 + 4x = 4$ 代入，得 $-3(x^2 + 4x) + 18 = -3 × 4 + 18 = -12 + 18 = 6$。
接下来化简表达式 $3(x - 2)^2 - 6(x + 1)(x - 1)$：
$3(x - 2)^2 = 3(x^2 - 4x + 4) = 3x^2 - 12x + 12$，
$6(x + 1)(x - 1) = 6(x^2 - 1) = 6x^2 - 6$，
所以原式为 $3x^2 - 12x + 12 - 6x^2 + 6 = -3x^2 - 12x + 18$。
将 $x^2 + 4x = 4$ 代入，得 $-3(x^2 + 4x) + 18 = -3 × 4 + 18 = -12 + 18 = 6$。
8. 若$(x + y)^2 = 19$,$(x - y)^2 = 3$,则$xy$的值为(
A.4
B.16
C.8
D.15
A
)A.4
B.16
C.8
D.15
答案
A
解析
根据完全平方公式，有：
$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = 19$，
$(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 = 3$，
将两个等式相减，得到：
$4xy = 16$，
从中解出：
$xy = 4$。
$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = 19$，
$(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 = 3$，
将两个等式相减，得到：
$4xy = 16$，
从中解出：
$xy = 4$。
9. 已知$(x - 2025)^2 + (x - 2027)^2 = 34$,则$(x - 2026)^2的值是$_________$$
16
。答案
16（这里题目是填空题，按题目要求应直接填答案数值）
解析
设$x-2026 = y$，则$x - 2025=y + 1$，$x - 2027=y - 1$。
已知$(x - 2025)^2+(x - 2027)^2 = 34$，将$x - 2025=y + 1$，$x - 2027=y - 1$代入可得：
$(y + 1)^2+(y - 1)^2=34$
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab + b^2$展开上式得：
$y^{2}+2y + 1+y^{2}-2y + 1 = 34$
合并同类项得：
$2y^{2}+2 = 34$
移项得：
$2y^{2}=32$
两边同时除以$2$得：
$y^{2}=16$
因为$y=x - 2026$，所以$(x - 2026)^2=16$。
已知$(x - 2025)^2+(x - 2027)^2 = 34$，将$x - 2025=y + 1$，$x - 2027=y - 1$代入可得：
$(y + 1)^2+(y - 1)^2=34$
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab + b^2$展开上式得：
$y^{2}+2y + 1+y^{2}-2y + 1 = 34$
合并同类项得：
$2y^{2}+2 = 34$
移项得：
$2y^{2}=32$
两边同时除以$2$得：
$y^{2}=16$
因为$y=x - 2026$，所以$(x - 2026)^2=16$。
10. 先化简,再求值：
(1)$[(2a + b)^2 - (2a + b)(2a - b)] ÷ (2b)$,其中$a = 2$,$b = -1$；
(2)$(3a - 1)^2 - 2a(4a - 1)$,其中$a满足a^2 - 4a + 3 = 0$。
(1)$[(2a + b)^2 - (2a + b)(2a - b)] ÷ (2b)$,其中$a = 2$,$b = -1$；
(2)$(3a - 1)^2 - 2a(4a - 1)$,其中$a满足a^2 - 4a + 3 = 0$。
答案
(1)
首先，根据完全平方公式和平方差公式展开：
$(2a + b)^2 = 4a^2 + 4ab + b^2$，
$(2a + b)(2a - b) = 4a^2 - b^2$，
将上述两个结果代入原式得：
$[(2a + b)^2 - (2a + b)(2a - b)] ÷ (2b)$
$= [4a^2 + 4ab + b^2 - 4a^2 + b^2] ÷ (2b)$
$= (4ab + 2b^2) ÷ (2b)$
$= 2a + b$
当 $a = 2$，$b = -1$ 时，
原式 $= 2 × 2 + (-1) = 3$。
(2)
首先，根据完全平方公式和单项式乘多项式法则展开：
$(3a - 1)^2 = 9a^2 - 6a + 1$，
$2a(4a - 1) = 8a^2 - 2a$，
将上述两个结果代入原式得：
$(3a - 1)^2 - 2a(4a - 1)$
$= 9a^2 - 6a + 1 - 8a^2 + 2a$
$= a^2 - 4a + 1$
由 $a^2 - 4a + 3 = 0$，得 $a^2 - 4a = -3$，
代入上述化简后的式子得：
原式 $= -3 + 1 = -2$。
首先，根据完全平方公式和平方差公式展开：
$(2a + b)^2 = 4a^2 + 4ab + b^2$，
$(2a + b)(2a - b) = 4a^2 - b^2$，
将上述两个结果代入原式得：
$[(2a + b)^2 - (2a + b)(2a - b)] ÷ (2b)$
$= [4a^2 + 4ab + b^2 - 4a^2 + b^2] ÷ (2b)$
$= (4ab + 2b^2) ÷ (2b)$
$= 2a + b$
当 $a = 2$，$b = -1$ 时，
原式 $= 2 × 2 + (-1) = 3$。
(2)
首先，根据完全平方公式和单项式乘多项式法则展开：
$(3a - 1)^2 = 9a^2 - 6a + 1$，
$2a(4a - 1) = 8a^2 - 2a$，
将上述两个结果代入原式得：
$(3a - 1)^2 - 2a(4a - 1)$
$= 9a^2 - 6a + 1 - 8a^2 + 2a$
$= a^2 - 4a + 1$
由 $a^2 - 4a + 3 = 0$，得 $a^2 - 4a = -3$，
代入上述化简后的式子得：
原式 $= -3 + 1 = -2$。
11. 阅读下列材料。
若$x满足(9 - x)(x - 4) = 4$,求$(4 - x)^2 + (x - 9)^2$的值。
解：设$9 - x = a$,$x - 4 = b$,则$(9 - x)(x - 4) = ab = 4$,$a + b = (9 - x) + (x - 4) = 5$,
故$(4 - x)^2 + (x - 9)^2 = (9 - x)^2 + (x - 4)^2 = a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 5^2 - 2× 4 = 17$。
请仿照上面的方法求解下面问题：
(1)若$x满足(5 - x)(x - 2) = 2$,求$(5 - x)^2 + (x - 2)^2$的值。
(2)如图,已知正方形$ABCD的边长为x$,$E$,$F分别是AD$,$DC$上的点,且$AE = 1$,$CF = 3$,长方形$EMFD$的面积是48,分别以$MF$,$DF$为边作正方形。
①$MF = $
②求阴影部分的面积。
若$x满足(9 - x)(x - 4) = 4$,求$(4 - x)^2 + (x - 9)^2$的值。
解：设$9 - x = a$,$x - 4 = b$,则$(9 - x)(x - 4) = ab = 4$,$a + b = (9 - x) + (x - 4) = 5$,
故$(4 - x)^2 + (x - 9)^2 = (9 - x)^2 + (x - 4)^2 = a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 5^2 - 2× 4 = 17$。
请仿照上面的方法求解下面问题：
(1)若$x满足(5 - x)(x - 2) = 2$,求$(5 - x)^2 + (x - 2)^2$的值。
(2)如图,已知正方形$ABCD的边长为x$,$E$,$F分别是AD$,$DC$上的点,且$AE = 1$,$CF = 3$,长方形$EMFD$的面积是48,分别以$MF$,$DF$为边作正方形。
①$MF = $
$x - 1$
,$DF = $$x - 3$
；(用含$x$的式子表示)②求阴影部分的面积。
(1)5；(2)②28
答案
(1)设$a = 5 - x$，$b = x - 2$，则$ab = 2$，$a + b=(5 - x)+(x - 2)=3$，$\therefore (5 - x)^2+(x - 2)^2=a^2 + b^2=(a + b)^2-2ab=3^2-2×2=5$。
(2)①$\because$正方形$ABCD$边长为$x$，$AE = 1$，$\therefore ED=AD - AE=x - 1$，长方形$EMFD$中$MF = ED=x - 1$；$CF = 3$，$\therefore DF=DC - CF=x - 3$。
②由①得$MF=x - 1$，$DF=x - 3$，长方形$EMFD$面积$=(x - 1)(x - 3)=48$，即$x^2-4x + 3=48$，$x^2-4x - 45=0$，解得$x = 9$（$x=-5$舍），$\therefore MF=8$，$DF=6$，阴影部分面积$=MF^2 - DF^2=8^2 - 6^2=64 - 36=28$。
(1)5；(2)①$x - 1$，$x - 3$；②28
(2)①$\because$正方形$ABCD$边长为$x$，$AE = 1$，$\therefore ED=AD - AE=x - 1$，长方形$EMFD$中$MF = ED=x - 1$；$CF = 3$，$\therefore DF=DC - CF=x - 3$。
②由①得$MF=x - 1$，$DF=x - 3$，长方形$EMFD$面积$=(x - 1)(x - 3)=48$，即$x^2-4x + 3=48$，$x^2-4x - 45=0$，解得$x = 9$（$x=-5$舍），$\therefore MF=8$，$DF=6$，阴影部分面积$=MF^2 - DF^2=8^2 - 6^2=64 - 36=28$。
(1)5；(2)①$x - 1$，$x - 3$；②28
解析
(1)设$5 - x = a$，$x - 2 = b$，则$ab = 2$，$a + b=(5 - x)+(x - 2)=3$，$(5 - x)^2+(x - 2)^2=a^2 + b^2=(a + b)^2-2ab=3^2-2×2=5$
(2)①$x - 1$；$x - 3$
②由题意得$(x - 1)(x - 3)=48$，设$x - 1 = m$，$x - 3 = n$，则$mn = 48$，$m - n=(x - 1)-(x - 3)=2$，$m^2 - n^2=(m - n)(m + n)$，$(m + n)^2=(m - n)^2 + 4mn=2^2 + 4×48=196$，$m + n = 14$（$m + n＞0$），阴影部分面积为$m^2 - n^2=2×14=28$
