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2. 解下列方程：
(1)$\frac{x - 2}{x + 3} - \frac{3}{x - 3} = 1$；
(2)$\frac{1}{x - 2} = \frac{1 - x}{2 - x} - 3$。
(1)$\frac{x - 2}{x + 3} - \frac{3}{x - 3} = 1$；
(2)$\frac{1}{x - 2} = \frac{1 - x}{2 - x} - 3$。
答案
(1)方程两边乘$(x + 3)(x - 3)$，得$(x - 2)(x - 3)-3(x + 3)=(x + 3)(x - 3)$
展开得$x^{2}-5x + 6-3x - 9=x^{2}-9$
化简得$-8x - 3=-9$
解得$x=\frac{3}{4}$
检验：当$x = \frac{3}{4}$时，$(x + 3)(x - 3)\neq0$，所以$x=\frac{3}{4}$是原方程的解
(2)方程两边乘$(x - 2)$，得$1=-(1 - x)-3(x - 2)$
展开得$1=-1 + x-3x + 6$
化简得$1=-2x + 5$
解得$x = 2$
检验：当$x = 2$时，$x - 2=0$，所以$x = 2$是增根，原方程无解
(1)$x=\frac{3}{4}$；(2)无解
展开得$x^{2}-5x + 6-3x - 9=x^{2}-9$
化简得$-8x - 3=-9$
解得$x=\frac{3}{4}$
检验：当$x = \frac{3}{4}$时，$(x + 3)(x - 3)\neq0$，所以$x=\frac{3}{4}$是原方程的解
(2)方程两边乘$(x - 2)$，得$1=-(1 - x)-3(x - 2)$
展开得$1=-1 + x-3x + 6$
化简得$1=-2x + 5$
解得$x = 2$
检验：当$x = 2$时，$x - 2=0$，所以$x = 2$是增根，原方程无解
(1)$x=\frac{3}{4}$；(2)无解
1. 下列式子是分式方程的是(
A.$\frac{2}{x + 1} + \frac{x}{3}$
B.$\frac{x}{4} + \frac{x - 1}{2} = 0$
C.$x^2 - 1 = 3$
D.$\frac{1}{x - 2} + x = 3$
D
)A.$\frac{2}{x + 1} + \frac{x}{3}$
B.$\frac{x}{4} + \frac{x - 1}{2} = 0$
C.$x^2 - 1 = 3$
D.$\frac{1}{x - 2} + x = 3$
答案
D
解析
根据分式方程的定义，分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
选项A：$\frac{2}{x + 1} + \frac{x}{3}$不是方程，因为它没有等号。
选项B：$\frac{x}{4} + \frac{x - 1}{2} = 0$，分母中不含有未知数，是整式方程。
选项C：$x^2 - 1 = 3$，分母中不含有未知数，是整式方程。
选项D：$\frac{1}{x - 2} + x = 3$，分母里含有未知数$x$，是分式方程。
选项A：$\frac{2}{x + 1} + \frac{x}{3}$不是方程，因为它没有等号。
选项B：$\frac{x}{4} + \frac{x - 1}{2} = 0$，分母中不含有未知数，是整式方程。
选项C：$x^2 - 1 = 3$，分母中不含有未知数，是整式方程。
选项D：$\frac{1}{x - 2} + x = 3$，分母里含有未知数$x$，是分式方程。
2. (2024·山东济宁中考)解分式方程 $1 - \frac{1}{3x - 1} = -\frac{5}{2 - 6x}$ 时,去分母变形正确的是(
A.$2 - 6x + 2 = -5$
B.$6x - 2 - 2 = -5$
C.$2 - 6x - 1 = 5$
D.$6x - 2 + 1 = 5$
A
)A.$2 - 6x + 2 = -5$
B.$6x - 2 - 2 = -5$
C.$2 - 6x - 1 = 5$
D.$6x - 2 + 1 = 5$
答案
A
解析
原方程为$1 - \frac{1}{3x - 1} = -\frac{5}{2 - 6x}$，将$2 - 6x$变形为$-2(3x - 1)$，方程可化为$1 - \frac{1}{3x - 1} = \frac{5}{2(3x - 1)}$。最简公分母为$2(3x - 1)$，两边同乘最简公分母得：$2(3x - 1) - 2 = 5$，展开得$6x - 2 - 2 = 5$，无此选项。重新检查，原方程右边分母$2 - 6x = - (6x - 2)$，方程可化为$1 - \frac{1}{3x - 1} = \frac{5}{6x - 2}$，最简公分母为$6x - 2 = 2(3x - 1)$，两边同乘$6x - 2$得：$(6x - 2) - 2 = 5$，即$6x - 2 - 2 = 5$，仍无正确选项。再次分析，原方程右边$-\frac{5}{2 - 6x} = \frac{5}{6x - 2}$，左边$1 - \frac{1}{3x - 1} = 1 - \frac{2}{6x - 2}$，两边同乘$6x - 2$得：$(6x - 2) - 2 = 5$，即$6x - 4 = 5$。对比选项，选项B为$6x - 2 - 2 = -5$，符号错误；选项D为$6x - 2 + 1 = 5$，应为减2。可能题目变形中符号处理有误，正确去分母过程：方程两边同乘$2 - 6x = - (6x - 2)$，得$(2 - 6x) - (-2) = -5$，即$2 - 6x + 2 = -5$，对应选项A。
3. 分式方程 $\frac{x}{x - 1} + \frac{2x}{1 - x} = 1$ 的解为(
A.$x = 1$
B.$x = 3$
C.$x = \frac{1}{2}$
D.无解
C
)A.$x = 1$
B.$x = 3$
C.$x = \frac{1}{2}$
D.无解
答案
C
解析
方程两边同乘最简公分母$x - 1$，得$x - 2x = x - 1$，解得$x = \frac{1}{2}$。检验：当$x = \frac{1}{2}$时，$x - 1 = -\frac{1}{2} \neq 0$，所以$x = \frac{1}{2}$是原方程的解。
4. (2024·山东济南中考)若分式 $\frac{x - 1}{2x}$ 的值为 0,则实数 $x$ 的值为
1
。答案
1
解析
要使分式$\frac{x - 1}{2x}$的值为$0$，则分子$x - 1 = 0$且分母$2x \neq 0$。由$x - 1 = 0$得$x = 1$，此时分母$2x = 2×1 = 2 \neq 0$，所以$x = 1$。
5. (2024·湖北武汉中考)分式方程 $\frac{x}{x - 3} = \frac{x + 1}{x - 1}$ 的解是
$x = -3$
。答案
$x = -3$
解析
首先，为了去除分母，需要找到两个分数的最小公倍数，即$(x-3)(x-1)$，然后两边同时乘以这个公倍数：
$x(x - 1) = (x + 1)(x - 3)$，
展开并整理得：
$x^2 - x = x^2 - 3x + x - 3$，
进一步整理，得到：
$x^2 - x = x^2 - 2x - 3$，
将所有项移到等式的一侧，得到：
$x = -3$，
检验：
将$x = -3$代入原方程的分母，确保分母不为0，经检验，$x = -3$满足原方程。
$x(x - 1) = (x + 1)(x - 3)$，
展开并整理得：
$x^2 - x = x^2 - 3x + x - 3$，
进一步整理，得到：
$x^2 - x = x^2 - 2x - 3$，
将所有项移到等式的一侧，得到：
$x = -3$，
检验：
将$x = -3$代入原方程的分母，确保分母不为0，经检验，$x = -3$满足原方程。
6. 解方程：
(1)$\frac{2}{x^2 - 1} + \frac{x}{x - 1} = 1$；
(2)$\frac{x}{3x - 1} = 2 - \frac{1}{1 - 3x}$；
(3)$\frac{3}{4 - x} + 2 = \frac{1 - x}{x - 4}$。
(1)$\frac{2}{x^2 - 1} + \frac{x}{x - 1} = 1$；
(2)$\frac{x}{3x - 1} = 2 - \frac{1}{1 - 3x}$；
(3)$\frac{3}{4 - x} + 2 = \frac{1 - x}{x - 4}$。
答案
(1)
方程两边乘$(x - 1)(x + 1)$，得：
$2 + x(x + 1) = (x - 1)(x + 1)$
化简得：$2 + x^2 + x = x^2 - 1$
解得：$x = -3$
检验：当$x = -3$时，$(x - 1)(x + 1) = 8 ≠ 0$
∴原方程的解为$x = -3$
(2)
原方程变形为：$\frac{x}{3x - 1} = 2 + \frac{1}{3x - 1}$
方程两边乘$3x - 1$，得：
$x = 2(3x - 1) + 1$
化简得：$x = 6x - 2 + 1$
解得：$x = \frac{1}{5}$
检验：当$x = \frac{1}{5}$时，$3x - 1 = -\frac{2}{5} ≠ 0$
∴原方程的解为$x = \frac{1}{5}$
(3)
原方程变形为：$-\frac{3}{x - 4} + 2 = \frac{1 - x}{x - 4}$
方程两边乘$x - 4$，得：
$-3 + 2(x - 4) = 1 - x$
化简得：$-3 + 2x - 8 = 1 - x$
解得：$x = 4$
检验：当$x = 4$时，$x - 4 = 0$
∴$x = 4$是增根，原方程无解
方程两边乘$(x - 1)(x + 1)$，得：
$2 + x(x + 1) = (x - 1)(x + 1)$
化简得：$2 + x^2 + x = x^2 - 1$
解得：$x = -3$
检验：当$x = -3$时，$(x - 1)(x + 1) = 8 ≠ 0$
∴原方程的解为$x = -3$
(2)
原方程变形为：$\frac{x}{3x - 1} = 2 + \frac{1}{3x - 1}$
方程两边乘$3x - 1$，得：
$x = 2(3x - 1) + 1$
化简得：$x = 6x - 2 + 1$
解得：$x = \frac{1}{5}$
检验：当$x = \frac{1}{5}$时，$3x - 1 = -\frac{2}{5} ≠ 0$
∴原方程的解为$x = \frac{1}{5}$
(3)
原方程变形为：$-\frac{3}{x - 4} + 2 = \frac{1 - x}{x - 4}$
方程两边乘$x - 4$，得：
$-3 + 2(x - 4) = 1 - x$
化简得：$-3 + 2x - 8 = 1 - x$
解得：$x = 4$
检验：当$x = 4$时，$x - 4 = 0$
∴$x = 4$是增根，原方程无解
