2. 计算：
(1)$5x(2x^{2}-3x+4)$；
(2)$(8x^{2}+4y-3y^{2})\cdot (-\frac {1}{2}xy)^{3}$。

(1)
根据单项式与多项式相乘的运算法则，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
$5x(2x^{2}-3x + 4)=5x\cdot2x^{2}-5x\cdot3x + 5x\cdot4$
$=10x^{3}-15x^{2}+20x$
(2)
先计算$(-\frac{1}{2}xy)^{3}$，根据积的乘方法则$(ab)^n=a^nb^n$可得：
$(-\frac{1}{2}xy)^{3}=(-\frac{1}{2})^{3}x^{3}y^{3}=-\frac{1}{8}x^{3}y^{3}$
则$(8x^{2}+4y - 3y^{2})\cdot(-\frac{1}{2}xy)^{3}=(8x^{2}+4y - 3y^{2})\cdot(-\frac{1}{8}x^{3}y^{3})$
根据单项式与多项式相乘的运算法则可得：
$(8x^{2}+4y - 3y^{2})\cdot(-\frac{1}{8}x^{3}y^{3})=8x^{2}\cdot(-\frac{1}{8}x^{3}y^{3})+4y\cdot(-\frac{1}{8}x^{3}y^{3})-3y^{2}\cdot(-\frac{1}{8}x^{3}y^{3})$
$=-x^{5}y^{3}-\frac{1}{2}x^{3}y^{4}+\frac{3}{8}x^{3}y^{5}$
综上，答案依次为：(1)$10x^{3}-15x^{2}+20x$；(2)$-x^{5}y^{3}-\frac{1}{2}x^{3}y^{4}+\frac{3}{8}x^{3}y^{5}$。

【典型例题 2】先化简,再求值：
$[xy(x^{2}-3y)+3xy^{2}]\cdot (-2xy)+x^{3}y^{2}(2x-y)$,其中$x= -\frac {1}{2},y= -2$。

思路导引 先利用单项式乘多项式的法则进行化简,再代入数计算求值。
【解】原式$=(x^{3}y-3xy^{2}+3xy^{2})\cdot (-2xy)+2x^{4}y^{2}-x^{3}y^{3}= -2x^{4}y^{2}+2x^{4}y^{2}-x^{3}y^{3}= -x^{3}y^{3}$。
当$x= -\frac {1}{2},y= -2$时,原式$=-(-\frac {1}{2})^{3}×(-2)^{3}= -1$。

3. 先化简,再求值：$3a(2a^{2}-4a+3)-2a^{2}(3a+4)$,其中$a= -2$。

$-98$

化简过程：
$\begin{aligned}&3a(2a^{2}-4a+3)-2a^{2}(3a+4)\\=&3a\cdot2a^{2}+3a\cdot(-4a)+3a\cdot3 - [2a^{2}\cdot3a + 2a^{2}\cdot4]\\=&6a^{3}-12a^{2}+9a - (6a^{3}+8a^{2})\\=&6a^{3}-12a^{2}+9a -6a^{3}-8a^{2}\\=&(6a^{3}-6a^{3})+(-12a^{2}-8a^{2})+9a\\=&-20a^{2}+9a\end{aligned}$
代入求值：
当$a = -2$时，
$\begin{aligned}&-20×(-2)^{2}+9×(-2)\\=&-20×4 -18\\=&-80 -18\\=&-98\end{aligned}$

1. (2024·甘肃兰州中考)计算：$2a(a-1)-2a^{2}=$()
A.$a$
B.$-a$
C.$2a$
D.$-2a$

D

首先，根据单项式乘多项式的运算法则展开 $2a(a-1)$，即：$2a \cdot a - 2a \cdot 1 = 2a^{2} - 2a$，
接着，将上述结果与 $-2a^{2}$ 进行合并同类项，即：$2a^{2} - 2a - 2a^{2} = -2a$。

2. 今天数学课上,老师讲了单项式乘多项式,放学回到家,小明拿出课堂笔记复习,发现一道题：$-3xy(4y-2x-1)= -12xy^{2}+6x^{2}y+□$,$□$的地方被钢笔水弄污了,你认为$□$内应填写()
A.$3xy$
B.$-3xy$
C.$-1$
D.$1$

A

根据题意，计算 $-3xy(4y - 2x - 1)$ 的展开式：
$-3xy \cdot 4y = -12xy^2$，
$-3xy \cdot (-2x) = 6x^2y$，
$-3xy \cdot (-1) = 3xy$。
因此，完整展开式为 $-12xy^2 + 6x^2y + 3xy$，与题目给出的 $-12xy^2 + 6x^2y + □$ 对比，可知 $□$ 内应填 $3xy$。

3. 下列计算正确的是()

A.$x(x^{3}-x^{2}+x-1)= x^{4}-x^{2}+x-1$
B.$a(a^{2}b-b+1)= a^{3}b-ab$
C.$xy(x+y)= x\cdot x+y\cdot y= x^{2}+y^{2}$
D.$-x^{2}y(4x^{2}-2xy+3y^{2})= -4x^{4}y+2x^{3}y^{2}-3x^{2}y^{3}$

D

A. $x(x^{3}-x^{2}+x-1)=x^4 - x^3 + x^2 - x$，与给定$x^{4}-x^{2}+x-1$不相等，A错；
B. $a(a^{2}b-b+1)=a^3b - ab + a$，与给定$a^{3}b - ab$不相等，B错；
C. $xy(x+y)=x^2y + xy^2$，与给定$x^{2}+y^{2}$不相等，C错；
D. $-x^{2}y(4x^{2}-2xy+3y^{2})=-4x^{4}y + 2x^{3}y^{2}-3x^{2}y^{3}$，与给定一致，D对。