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【典型例题 1】如图,在△ABC 中,∠ACB = 90°,CD⊥AB 于点 D,BF 平分∠ABC 交 CD 于点 E,交 AC 于点 F. 求证 CE = CF.
答案
【证明】因为∠ACB = 90°,CD⊥AB,
所以∠CBF + ∠CFB = 90°,∠DBE + ∠DEB = 90°. 因为 BF 平分∠ABC,
所以∠CBF = ∠DBE,
所以∠CFB = ∠DEB.
因为∠FEC = ∠DEB,
所以∠CFB = ∠FEC,所以 CE = CF.
所以∠CBF + ∠CFB = 90°,∠DBE + ∠DEB = 90°. 因为 BF 平分∠ABC,
所以∠CBF = ∠DBE,
所以∠CFB = ∠DEB.
因为∠FEC = ∠DEB,
所以∠CFB = ∠FEC,所以 CE = CF.
1. (2024·重庆中考)如图,在△ABC 中,AB = AC,∠A = 36°,BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D. 若 BC = 2,则 AD 的长度为
2
.答案
2
解析
∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=(180°-36°)/2=72°。
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=72°/2=36°。
在△ABD中，∠A=∠ABD=36°，∴AD=BD（等角对等边）。
在△BCD中，∠BDC=180°-∠DBC-∠ACB=180°-36°-72°=72°，∴∠BDC=∠ACB=72°，∴BD=BC=2（等角对等边）。
∴AD=BD=2。
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=72°/2=36°。
在△ABD中，∠A=∠ABD=36°，∴AD=BD（等角对等边）。
在△BCD中，∠BDC=180°-∠DBC-∠ACB=180°-36°-72°=72°，∴∠BDC=∠ACB=72°，∴BD=BC=2（等角对等边）。
∴AD=BD=2。
【典型例题 2】尺规作图：如图,已知线段 a,求作以 a 为底,以 2a 为高的等腰三角形.
答案
思路导引 先用直尺和圆规“作一条线段等于已知线段”,作出底边；再结合“作线段的垂直平分线”作出底边上的高,进而确定了三个顶点,即可作出等腰三角形.
【解】如图.
(1) 作线段 BC = a.
(2) 作线段 BC 的垂直平分线 MN,与 BC 交于点 D.
(3) 在 DM 上截取 DA = 2a.
(4) 连接 AB,AC,则△ABC 就是所求作的等腰三角形.
2. 尺规作图：已知等腰三角形的底边长为 a,顶角的平分线的长为 b,求作这个等腰三角形.
答案
1. 作线段BC，使BC = a；
2. 分别以B、C为圆心，大于1/2BC的长为半径画弧，两弧分别交于M、N两点，作直线MN，MN交BC于点D（D为BC中点）；
3. 在射线DM上截取DA，使DA = b；
4. 连接AB、AC，△ABC即为所求作的等腰三角形。
2. 分别以B、C为圆心，大于1/2BC的长为半径画弧，两弧分别交于M、N两点，作直线MN，MN交BC于点D（D为BC中点）；
3. 在射线DM上截取DA，使DA = b；
4. 连接AB、AC，△ABC即为所求作的等腰三角形。
