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2. 下列说法正确的是(
A.$\frac{x - y}{5}$是整式
B.2是单项式,其系数是1,次数是1
C.单项式$-\pi x系数为-1$
D.多项式$2 - a - ab - 2\pi x^{2}y$是四次四项式
A
)A.$\frac{x - y}{5}$是整式
B.2是单项式,其系数是1,次数是1
C.单项式$-\pi x系数为-1$
D.多项式$2 - a - ab - 2\pi x^{2}y$是四次四项式
答案
A
3. 下列代数式中是二次三项式的为(
A.$2x^{3}-4x - 8$
B.$-\frac{1}{3}x^{2}+3x + 4$
C.$x^{2}+3-\frac{1}{x}$
D.$x+\frac{1}{x}-2$
B
)A.$2x^{3}-4x - 8$
B.$-\frac{1}{3}x^{2}+3x + 4$
C.$x^{2}+3-\frac{1}{x}$
D.$x+\frac{1}{x}-2$
答案
B
解析
二次三项式是指所含单项式最高次数为2，且由3个单项式组成的多项式。
选项A：$2x^{3}-4x - 8$最高次数为3，是三次三项式，不符合。
选项B：$-\frac{1}{3}x^{2}+3x + 4$最高次数为2，由3个单项式组成，是二次三项式，符合。
选项C：$x^{2}+3-\frac{1}{x}$中$-\frac{1}{x}$不是单项式，不是多项式，不符合。
选项D：$x+\frac{1}{x}-2$中$\frac{1}{x}$不是单项式，不是多项式，不符合。
B
选项A：$2x^{3}-4x - 8$最高次数为3，是三次三项式，不符合。
选项B：$-\frac{1}{3}x^{2}+3x + 4$最高次数为2，由3个单项式组成，是二次三项式，符合。
选项C：$x^{2}+3-\frac{1}{x}$中$-\frac{1}{x}$不是单项式，不是多项式，不符合。
选项D：$x+\frac{1}{x}-2$中$\frac{1}{x}$不是单项式，不是多项式，不符合。
B
4. 已知$a_{1}x^{4}+a_{2}x^{3}+a_{3}x^{2}+a_{4}x + a_{5}= (2x - 1)^{4}$,则$a_{1}-a_{2}+a_{3}-a_{4}+a_{5}-1$的值为(
A.80
B.81
C.$-80$
D.$-82$
A
)A.80
B.81
C.$-80$
D.$-82$
答案
A
解析
令$x=-1$，则$a_{1}(-1)^{4}+a_{2}(-1)^{3}+a_{3}(-1)^{2}+a_{4}(-1)+a_{5}=(2×(-1)-1)^{4}$，即$a_{1}-a_{2}+a_{3}-a_{4}+a_{5}=(-3)^{4}=81$，所以$a_{1}-a_{2}+a_{3}-a_{4}+a_{5}-1=81 - 1=80$。
A
A
5. (1) 一个只含字母$a$的二次三项式,它的二次项、一次项的系数都是$-1$,常数项是2,你能写出这个二次三项式吗？当$a = -\frac{1}{2}$时,这个二次三项式的值为多少？
(2) 一个关于$x$,$y$的二次三项式,除常数项是$-2$外,其余各项的系数都是1,你能写出这个二次三项式吗？(得出3个即可)
(2) 一个关于$x$,$y$的二次三项式,除常数项是$-2$外,其余各项的系数都是1,你能写出这个二次三项式吗？(得出3个即可)
答案
（1）$-a^2-a+2$ 当$a=-\frac{1}{2}$时,值为$2\frac{1}{4}$. （2）满足题意的二次三项式有$x^2+xy-2,xy+x-2,xy+y-2,x^2+y-2,y^2+x-2,y^2+xy-2,x^2+y^2-2$.
解析
（1）$-a^2 - a + 2$
当$a = -\frac{1}{2}$时，
原式$= -\left(-\frac{1}{2}\right)^2 - \left(-\frac{1}{2}\right) + 2 = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 2 = \frac{9}{4}$
（2）$x^2 + xy - 2$，$xy + x - 2$，$x^2 + y - 2$
当$a = -\frac{1}{2}$时，
原式$= -\left(-\frac{1}{2}\right)^2 - \left(-\frac{1}{2}\right) + 2 = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 2 = \frac{9}{4}$
（2）$x^2 + xy - 2$，$xy + x - 2$，$x^2 + y - 2$
6. 张明在抄写多项式$-\frac{2}{3}xy^{□}z^{□}+1$时,不小心滴下墨水把字母$y$,$z$上的指数给遮盖了,他只知道这个多项式是五次二项式,请同学们帮助张明写出符合条件的多项式.
答案
这个多项式可能是$-\frac{2}{3}xyz^3+1$或$-\frac{2}{3}xy^2z^2+1$或$-\frac{2}{3}xy^3z+1$.
解析
设$y$的指数为$a$，$z$的指数为$b$（$a$，$b$为正整数）。
因为多项式是五次二项式，所以$1 + a + b = 5$，即$a + b = 4$。
可能的正整数解为：
当$a = 1$时，$b = 3$，多项式为$-\frac{2}{3}xyz^{3}+1$；
当$a = 2$时，$b = 2$，多项式为$-\frac{2}{3}xy^{2}z^{2}+1$；
当$a = 3$时，$b = 1$，多项式为$-\frac{2}{3}xy^{3}z+1$。
符合条件的多项式为：$-\frac{2}{3}xyz^{3}+1$，$-\frac{2}{3}xy^{2}z^{2}+1$，$-\frac{2}{3}xy^{3}z+1$。
因为多项式是五次二项式，所以$1 + a + b = 5$，即$a + b = 4$。
可能的正整数解为：
当$a = 1$时，$b = 3$，多项式为$-\frac{2}{3}xyz^{3}+1$；
当$a = 2$时，$b = 2$，多项式为$-\frac{2}{3}xy^{2}z^{2}+1$；
当$a = 3$时，$b = 1$，多项式为$-\frac{2}{3}xy^{3}z+1$。
符合条件的多项式为：$-\frac{2}{3}xyz^{3}+1$，$-\frac{2}{3}xy^{2}z^{2}+1$，$-\frac{2}{3}xy^{3}z+1$。
7. 如果多项式$x^{4}-(a - 1)x^{3}+5x^{2}-(b + 3)x - 1不含x项和x^{3}$项,试求$a$,$b$的值.
答案
$a=1,b=-3$
解析
多项式$x^{4}-(a - 1)x^{3}+5x^{2}-(b + 3)x - 1$不含$x$项和$x^{3}$项，所以$x^{3}$项系数和$x$项系数为$0$。
$x^{3}$项系数：$-(a - 1)=0$，解得$a=1$。
$x$项系数：$-(b + 3)=0$，解得$b=-3$。
$a=1$，$b=-3$
$x^{3}$项系数：$-(a - 1)=0$，解得$a=1$。
$x$项系数：$-(b + 3)=0$，解得$b=-3$。
$a=1$，$b=-3$
8. 已知多项式$-\frac{1}{5}x^{2}y^{m + 1}+xy^{2}-3x^{3}-6$是六次四项式,单项式$2.6x^{2n}y^{5 - m}$的次数与这个多项式的次数相同,试求$n$的值.
答案
由题意,得$2+m+1=6$,解得$m=3$,而$2n+2=6$,所以$n=2$.
解析
因为多项式$-\frac{1}{5}x^{2}y^{m + 1}+xy^{2}-3x^{3}-6$是六次四项式，所以多项式中次数最高项的次数为$6$。各项次数依次为：$2 + m + 1$、$1 + 2 = 3$、$3$、$0$，则$2 + m + 1 = 6$，解得$m = 3$。
因为单项式$2.6x^{2n}y^{5 - m}$的次数与多项式的次数相同，即次数为$6$，所以$2n + (5 - m) = 6$。将$m = 3$代入，得$2n + (5 - 3) = 6$，即$2n + 2 = 6$，解得$n = 2$。
故$n$的值为$2$。
因为单项式$2.6x^{2n}y^{5 - m}$的次数与多项式的次数相同，即次数为$6$，所以$2n + (5 - m) = 6$。将$m = 3$代入，得$2n + (5 - 3) = 6$，即$2n + 2 = 6$，解得$n = 2$。
故$n$的值为$2$。
9. (1) 已知代数式$m^{2}+m - 1 = 0$,求代数式$2023 - 2m^{2}-2m$的值；
(2) 已知当$x = 2$时,多项式$ax^{3}+bx - 1的值是-100$,当$x = -2$时,求多项式$ax^{3}+bx - 1$的值.
(2) 已知当$x = 2$时,多项式$ax^{3}+bx - 1的值是-100$,当$x = -2$时,求多项式$ax^{3}+bx - 1$的值.
答案
（1）2 021 （2）98
解析
（1）因为$m^{2}+m - 1 = 0$，所以$m^{2}+m=1$。
$2023 - 2m^{2}-2m=2023 - 2(m^{2}+m)=2023 - 2×1=2021$
（2）当$x = 2$时，$ax^{3}+bx - 1 = -100$，即$8a + 2b - 1=-100$，所以$8a + 2b=-99$。
当$x=-2$时，$ax^{3}+bx - 1=-8a - 2b - 1=-(8a + 2b)-1=-(-99)-1=99 - 1=98$
$2023 - 2m^{2}-2m=2023 - 2(m^{2}+m)=2023 - 2×1=2021$
（2）当$x = 2$时，$ax^{3}+bx - 1 = -100$，即$8a + 2b - 1=-100$，所以$8a + 2b=-99$。
当$x=-2$时，$ax^{3}+bx - 1=-8a - 2b - 1=-(8a + 2b)-1=-(-99)-1=99 - 1=98$
