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7. 如图,∠AOB和∠AOD分别是∠AOC的余角和补角,且OC是∠BOD的平分线,求∠AOC的度数。
答案
设∠AOC=x°,则∠AOB=90°-x°,∠AOD=180°-x°,
∵OC平分∠BOD,
∴∠DOC=∠BOC,
∴180-x-x=x-(90-x),解得x=67.5,即∠AOC=67.5°.
∵OC平分∠BOD,
∴∠DOC=∠BOC,
∴180-x-x=x-(90-x),解得x=67.5,即∠AOC=67.5°.
8. 已知点B,O,C在同一条直线上,∠AOB= α(0°＜α＜60°)。
(1)如图1,若∠AOD= 90°,∠COD= 65°,则α=
(2)如图2,若∠BOD= 90°,∠BOE= 50°,OA平分∠DOE,则α=
(3)如图3,若∠AOD与∠AOB互余,∠BOE也与∠AOB互余,请在图3中画出符合条件的射线OE,并计算出∠DOE的度数(用含α的式子表示)。
(1)如图1,若∠AOD= 90°,∠COD= 65°,则α=
25°
；(2)如图2,若∠BOD= 90°,∠BOE= 50°,OA平分∠DOE,则α=
20°
；(3)如图3,若∠AOD与∠AOB互余,∠BOE也与∠AOB互余,请在图3中画出符合条件的射线OE,并计算出∠DOE的度数(用含α的式子表示)。
答案
(1)25°
(2)20°
(3)① 当OE在OB的上方时,如图1所示.
∵∠AOD与∠AOB互余,∠BOE也与∠AOB互余,
∴∠AOD=∠BOE=90°-α,
∴∠DOE=∠BOD-∠BOE=90°-(90°-α)=α;② 当OE在OB的下方时,如图2所示.
∵∠AOD与∠AOB互余,∠BOE也与∠AOB互余,
∴∠AOD=∠BOE=90°-α,
∴∠DOE=∠BOD+∠BOE=90°+90°-α=180°-α.综上所述,∠DOE的度数为α或180°-α.
1. 若∠α+∠β= 90°,∠β+∠γ= 90°,则∠α与∠γ的关系是(
A.互余
B.互补
C.相等
D.∠α= 90°+∠γ
C
)A.互余
B.互补
C.相等
D.∠α= 90°+∠γ
答案
C
解析
因为∠α+∠β=90°，所以∠α=90°-∠β。
因为∠β+∠γ=90°，所以∠γ=90°-∠β。
所以∠α=∠γ。
C
因为∠β+∠γ=90°，所以∠γ=90°-∠β。
所以∠α=∠γ。
C
2. 已知∠α与∠β互补,下列说法正确的有(
①若∠α是锐角,则∠β一定是钝角；②若∠γ+∠α= 180°,则∠β= ∠γ；③若∠1= 1/2∠α,∠2= 1/2∠β,则∠1与∠α互余。
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
C
)①若∠α是锐角,则∠β一定是钝角；②若∠γ+∠α= 180°,则∠β= ∠γ；③若∠1= 1/2∠α,∠2= 1/2∠β,则∠1与∠α互余。
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案
C
解析
①
∵∠α与∠β互补，
∴∠α+∠β=180°。∠α是锐角，即0°＜∠α＜90°，则90°＜∠β＜180°，∠β是钝角，正确。
②
∵∠α+∠β=180°，∠γ+∠α=180°，
∴∠β=∠γ，正确。
③∠1=$\frac{1}{2}$∠α，∠2=$\frac{1}{2}$∠β，∠1+∠2=$\frac{1}{2}$(∠α+∠β)=90°，∠1与∠2互余，不是∠1与∠α互余，错误。
正确的有①②，共2个。
C
∵∠α与∠β互补，
∴∠α+∠β=180°。∠α是锐角，即0°＜∠α＜90°，则90°＜∠β＜180°，∠β是钝角，正确。
②
∵∠α+∠β=180°，∠γ+∠α=180°，
∴∠β=∠γ，正确。
③∠1=$\frac{1}{2}$∠α，∠2=$\frac{1}{2}$∠β，∠1+∠2=$\frac{1}{2}$(∠α+∠β)=90°，∠1与∠2互余，不是∠1与∠α互余，错误。
正确的有①②，共2个。
C
3. 一个角的补角是它的余角的3倍,那么这个角为(
A.60°
B.45°
C.30°
D.15°
B
)A.60°
B.45°
C.30°
D.15°
答案
B
解析
设这个角为$x$度，它的补角为$(180 - x)$度，余角为$(90 - x)$度。
由题意得：$180 - x = 3(90 - x)$
解得：$x = 45$
B
由题意得：$180 - x = 3(90 - x)$
解得：$x = 45$
B
4. 如图,C为直线AB上一点,∠DCE为直角,CF平分∠ACD,CH平分∠BCD,CG平分∠BCE,各学习小组同学经过讨论后得到以下结论：
① ∠ACF与∠BCH互余；② ∠HCG= 45°；③ ∠ECF与∠GCH互补；④ ∠ACF-∠GCE= 45°。则正确的结论为
① ∠ACF与∠BCH互余；② ∠HCG= 45°；③ ∠ECF与∠GCH互补；④ ∠ACF-∠GCE= 45°。则正确的结论为
①②④
。(填序号)答案
①②④
解析
①设∠ACF=∠FCD=x，∠DCH=∠HCB=y，
∵∠ACB=180°，
∴2x+2y=180°，x+y=90°，即∠ACF+∠BCH=90°，①正确；
②
∵∠DCE=90°，∠BCD=2y，
∴∠BCE=90°-2y，
∵CG平分∠BCE，
∴∠BCG=(90°-2y)/2=45°-y，∠HCG=∠HCB+∠BCG=y+45°-y=45°，②正确；
③∠ECF=∠ACD+∠DCE=2x+90°，∠GCH=45°，∠ECF+∠GCH=2x+135°，
∵0°＜2x＜90°，
∴135°＜2x+135°＜225°，不互补，③错误；
④∠GCE=∠BCG=45°-y，∠ACF-∠GCE=x-(45°-y)=x+y-45°=90°-45°=45°，④正确。
正确结论为①②④。
∵∠ACB=180°，
∴2x+2y=180°，x+y=90°，即∠ACF+∠BCH=90°，①正确；
②
∵∠DCE=90°，∠BCD=2y，
∴∠BCE=90°-2y，
∵CG平分∠BCE，
∴∠BCG=(90°-2y)/2=45°-y，∠HCG=∠HCB+∠BCG=y+45°-y=45°，②正确；
③∠ECF=∠ACD+∠DCE=2x+90°，∠GCH=45°，∠ECF+∠GCH=2x+135°，
∵0°＜2x＜90°，
∴135°＜2x+135°＜225°，不互补，③错误；
④∠GCE=∠BCG=45°-y，∠ACF-∠GCE=x-(45°-y)=x+y-45°=90°-45°=45°，④正确。
正确结论为①②④。
